Основные вопросы. Тогда формула вычисления двойного интеграла имеет вид

Тогда формула вычисления двойного интеграла имеет вид

Тогда формула вычисления двойного интеграла имеет вид

Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах.

Пусть двойной интеграл преобразуется от прямоугольных координат к криволинейным координатам, связанными с прямоугольными координатами соотношениями,. Функции и имеют непрерывные частные производные в области G плоскости. Тогда имеет место формула

,

которая называется формулой преобразования координат в двойном интеграле.

В частности, преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат к полярным координатам, связанными с прямоугольными координатами соотношениями, и якобиан преобразования имеет вид

осуществляется по формуле

.

Для вычисления двойного интеграла также применяют правило сведения его к повторным интегралам. При этом, переменной для внешнего интеграла будет переменная, для внутреннего - r.

Предположим, что область D ограничена двумя лучами, выходящими из полюса под углами a и b (a < b), и двумя кривыми, уравнения которых в полярных координатах будут иметь вид:. Полюс лежит вне области D. Кроме того, любой луч j=const, (a < j<b) пересекает границу области не более чем в двух точках. Тогда область D можно записать в виде неравенств

D

Для этой области интегрирования формула вычисления двойного интеграла имеет вид

Если область интегрирования D заключена между лучами j = a и j = b, а полюс полярной системы координат лежит на границе, то ее можно записать в виде неравенств

Если же область D содержит внутри себя начало координат и ограничена кривой, то ее можно записать в виде неравенств

b

a

О

Пример. Переходя к полярным координатам вычислить двойной интеграл, если область D ограничена линиями

Решение. Уравнения определяют окружности.

y y=2x y=x

Используя формулы перехода от декарто-

вых координат к полярным

,

запишем уравнения границы области D O x

в полярных координатах

,

Область D запишется в виде неравенств:

========================================================

Лекция №23.

Тема. Числовые ряды. Исследование сходимости числовых рядов.

Цель лекции. Числовые ряды являются важнейшим разделом математики, которые применяются в методах приближенного вычисления значений функций. Целью лекции является изучение основных понятий теории рядов, исследования сходимости.

1. Числовые ряды, основные понятия и свойства.

2. Простейшие свойства сходящихся рядов.

3. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

4. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости рядов.

5. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда. Признак Лейбница.

Краткое содержание

1. Числовые ряды, основные понятия и свойства.

Пусть, где, — бесконечная числовая последовательность. Выражение вида

(1)

называется бесконечным числовым рядом, а числа - членами ряда; называется общим членом ряда. Используя знак суммирования, числовой ряд записывают в виде

Сумма первых n членов ряда называется n -й частичной суммой и обозначается

Частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность

Ряд (1) называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумма при т.е.

Число S называют суммой ряда..

Если последовательность частичных сумм не имеет конечного предела или предел не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример 1. Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии

,

где — знаменатель геометрической прогрессии.

При ее частичная сумма будет. Найдем предел.

Тогда =