Свойства равномерно сходящегося ряда

Основные вопросы.

1. Функциональные ряды, основные понятия и свойства.

2. Степенные ряды. Теорема Абеля.

Краткое содержание

1. Функциональные ряды, основные понятия и свойства.

Пусть последовательность функций, определенных в некоторой области изменения переменной х.

Выражение вида

(1)

называется функциональным рядом, общий член ряда.

Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке, если сходится числовой ряд, полученный из ряда (1) подстановкой. При этом точка называется точкой сходимости функционального ряда. Множество всех точек сходимости называется областью сходимости функционального ряда.

Так же как и для числовых рядов, сумма n первых членов ряда (1) называется его частичной суммой

.

Частичная сумма также является функцией от x. Из определения области сходимости функционального ряда следует, что для любой точки х этой области существует предел при Этот предел называется суммой функционального ряда (1). Очевидно, что в области сходимости ряда его сумма будет функцией от х. Обозначим ее S(x).

Разность между суммой ряда и его частичной суммой называется остатком

ряда и обозначается

Ясно, что Остаток ряда также является рядом, полученным из ряда (1) отбрасыванием n первых его членов.

Пример 1. Функциональный ряд

сходится для всех х, | x | < 1. Сумма такого ряда равна

Введем понятие равномерной сходимости функционального ряда.

Функциональный ряд (1) называется равномерно сходящимся в своей области сходимости, если для любого найдется такой, не зависящий от х, номер, что при n > N и для всех х из области сходимости будет выполняться неравенство

.

Для установления на практике равномерной сходимости функциональных рядов это определение мало пригодно. Обычно применяется достаточные признаки равномерной сходимости функциональных рядов. Одним из таких признаков является признак Вейерштрасса.

Теорема Вейерштрасса. Если члены функционального ряда (1) удовлетворяют в области сходимости неравенствам

где -члены сходящегося числового ряда, то ряд (1) сходится равномерно.

Функциональный ряд называется мажорируемым в некоторой области D, если существует такой сходящийся числовой ряд (>0), что для всех x D справедливы неравенства

.

Сходящейся числовой ряд называется мажорантным (мажорирующим) рядом (или мажорантой).

Пример 2. Функциональный ряд мажорируется числовым сходящимся рядом, так как выполняется для любого x.

1.Если члены равномерно сходящегося на отрезке функционального ряда непрерывны, то его сумма также непрерывна на отрезке.

2.Если члены равномерно сходящиеся на отрезке функционального ряда непрерывны на этом отрезке, то сумму ряда можно почленно интегрировать.

.

3.Если ряд, составленный из функций, имеющих непрерывные производные на отрезке, сходится на этом отрезке к сумме и ряд, составленный из производных его членов равномерно сходятся на этом отрезке, то сумму ряда можно почленно дифференцировать

.