Простейшие свойства сходящихся рядов.
Ряд с неотрицательными членами называется рядом с положительными членами.
- ряд с положительными членами, если.
1. Если члены сходящегося ряда умножить на одно и тоже число k, то его сходимость не нарушится, а сумма лишь умножится на k.
2. Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны, то и каждый из двух рядов также сходится. Их суммы будут соответственно равны.
3. Отбрасывание или добавление конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость.
Если ряд сходится, то и ряд, называемый остатком данного ряда, также сходится. Верно и обратное.
4. Необходимый признак сходимости ряда.
Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании номера n, т.е..
Обратное утверждение неверно. Общий член ряда может стремиться к нулю при n →∞, а ряд будет расходящимся. Если общий член ряда не стремится к нулю при возрастании номера n, то ряд обязательно расходится.
Пример 1. Рассмотрим ряд:
который называется гармоническим рядом. Его общий член стремиться к нулю при n →∞. Однако, гармонический ряд является расходящимся(можно доказать с помощью интегрального признака).
|
|
10. Признаки сравнения.
а) Первый признак сравнения.
Пусть даны два ряда с положительными членами:
(2) и, (3)
причем. Тогда: если сходится ряд (3), то сходится и ряд (2); если расходится ряд (2), то расходится и ряд (3).
Этот признак остается в силе, если неравенства выполняются не при всех n, а лишь начиная с некоторого номера.
б) Предельный признак сравнения.
Если существует конечный и отличный от нуля предел, то оба ряда и одновременно сходятся или одновременно расходятся.
Пример 1. Исследовать сходимость ряда.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда; если р<1.
Решение. Применим признак сравнения. Будем сравнивать с расходящимся гармоническим рядом.
Члены данного ряда, начиная со второго, больше соответствующих членов гармонического ряда, т.е
.
и гармонический ряд расходиться. Следовательно, по признаку сравнения данный ряд расходиться.
30. Признак Даламбера. Если для ряда, существует, то при ряд сходится и при расходится, а при вопрос о сходимости ряда остается открытым. В этом случае следует применить другие признаки
Пример 1. Исследовать сходимость ряда.
Решение. Поскольку,, то
= = = () =
= = <1. Следовательно, данный ряд сходится.
40. Радикальный признак Коши.
Если для ряда существует, то при ряд сходится и при расходится, а при вопрос о сходимости ряда остается открытым. В этом случае следует применить другие признаки.
Пример 1. Исследовать сходимость ряда ()
Решение. Применим радикальный признак Коши:
|
|
= = = = <1,
Следовательно, данный ряд сходится.
50. Интегральный признак сходимости ряда
Теорема. Пусть члены ряда
положительны и не возрастают, т.е., и пусть известна непрерывная, невозрастающая на интервале функция такая, что
Тогда несобственный интеграл и ряд сходятся или расходятся одновременно.
Пример 1. Исследовать сходимость ряда.
Решение. Применим интегральный признак Коши. Для этого вычислим несобственный интеграл
= = (-)= (-) =
= (+)= <.
Несобственный интеграл сходится, поэтому и данный ряд тоже сходится.