double arrow

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Простейшие свойства сходящихся рядов.

Ряд с неотрицательными членами называется рядом с положительными членами.

- ряд с положительными членами, если.

1. Если члены сходящегося ряда умножить на одно и тоже число k, то его сходимость не нарушится, а сумма лишь умножится на k.

2. Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны, то и каждый из двух рядов также сходится. Их суммы будут соответственно равны.

3. Отбрасывание или добавление конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость.

Если ряд сходится, то и ряд, называемый остатком данного ряда, также сходится. Верно и обратное.

4. Необходимый признак сходимости ряда.

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании номера n, т.е..

Обратное утверждение неверно. Общий член ряда может стремиться к нулю при n →∞, а ряд будет расходящимся. Если общий член ряда не стремится к нулю при возрастании номера n, то ряд обязательно расходится.

Пример 1. Рассмотрим ряд:

который называется гармоническим рядом. Его общий член стремиться к нулю при n →∞. Однако, гармонический ряд является расходящимся(можно доказать с помощью интегрального признака).

10. Признаки сравнения.

а) Первый признак сравнения.

Пусть даны два ряда с положительными членами:

(2) и, (3)

причем. Тогда: если сходится ряд (3), то сходится и ряд (2); если расходится ряд (2), то расходится и ряд (3).

Этот признак остается в силе, если неравенства выполняются не при всех n, а лишь начиная с некоторого номера.

б) Предельный признак сравнения.

Если существует конечный и отличный от нуля предел, то оба ряда и одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда; если р<1.

Решение. Применим признак сравнения. Будем сравнивать с расходящимся гармоническим рядом.

Члены данного ряда, начиная со второго, больше соответствующих членов гармонического ряда, т.е

.

и гармонический ряд расходиться. Следовательно, по признаку сравнения данный ряд расходиться.

30. Признак Даламбера. Если для ряда, существует, то при ряд сходится и при расходится, а при вопрос о сходимости ряда остается открытым. В этом случае следует применить другие признаки

Пример 1. Исследовать сходимость ряда.

Решение. Поскольку,, то

= = = () =

= = <1. Следовательно, данный ряд сходится.

40. Радикальный признак Коши.

Если для ряда существует, то при ряд сходится и при расходится, а при вопрос о сходимости ряда остается открытым. В этом случае следует применить другие признаки.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда ()

Решение. Применим радикальный признак Коши:

= = = = <1,

Следовательно, данный ряд сходится.

50. Интегральный признак сходимости ряда

Теорема. Пусть члены ряда

положительны и не возрастают, т.е., и пусть известна непрерывная, невозрастающая на интервале функция такая, что

Тогда несобственный интеграл и ряд сходятся или расходятся одновременно.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда.

Решение. Применим интегральный признак Коши. Для этого вычислим несобственный интеграл

= = (-)= (-) =

= (+)= <.

Несобственный интеграл сходится, поэтому и данный ряд тоже сходится.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: