Решение нормальной однородной линейной системы дифферен- циальных уравнений с постоянными коэффициентами методом Эйлера

Для построения общего решения однородной линейной системы дифференциальных уравнений (3) достаточно знать три линейно независимых частных решения системы для каждой из искомых функций.

Такая система решений называется фундаментальной системой решений.

Основным методом построения фундаментальной системы решений для линейной однородной системы уравнений с постоянными коэффициентами является метод Эйлера.

Согласно этому методу частные решения системы (3) ищут в виде

Где есть некоторые постоянные числа, подлежащие определению.

Подставляя предполагаемые решения в систему (3) и сокращая на, получим систему линейных однородных уравнений

(4)

Чтобы эта однородная линейная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель равнялся нулю

(5)

Полученное уравнение называется характеристическим уравнением системы (3), а его корни - характеристическими числами.

Каждому из корней характеристического уравнения соответствует хотя бы одно частное решение. Различают три случая.

1. Корни характеристического уравнения (5) действительные и различные. В этом случае, полагая в системе (4) для определения чисел получим систему уравнений

Решая эту систему, для каждого значения найдем ненулевые решения

.

(Заметим, что решения этой системы находятся с точностью до постоянного множителя, т.к. определитель системы равен нулю).

Запишем частные решения системы (3), соответствующие всем корням и найденным значениям

,

получим фундаментальную систему решений

Умножая первую строку на произвольную постоянную, вторую - на, третью – на и складывая по столбцам, получим общее решение системы (3).

Пример 1. Найти общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений с помощью характеристического уравнения (методом Эйлера)

Решение. Будем искать решение системы в виде.

Составим характеристическое уравнение системы и найдем его корни.

Характеристическое уравнение имеет корни Найдем частное решение системы, соответствующее корню Числа найдем из системы уравнений

,

которое сводится к одному уравнению. Одно из чисел можно выбрать произвольно. Полагая.

Таким образом, характеристическому числу будет соответствовать частное решение

Аналогично находим частное решение, соответствующее характеристи ческому числу

Фундаментальная система решений для данной линейной системы однородных уравнений имеет вид

.

Умножая первую строку на, вторую на, где и произвольные постоянные, складывая по столбцам, получим общее решение системы дифференциальных уравнений

2. Среди корней характеристического уравнения (5) имеются комплексные. Следует отметить, что комплексные корни входят сопряженной парой

Для корня будем иметь комплексные частные решения вида

.

Здесь. Применяя формулу Эйлера и отделяя в комплексном решении действительные и мнимые части получим

За частные решения системы уравнений (5), которые соответствуют характеристическому числу, возьмем действительные части полученных комплексных решений, а за частные решения, которые соответствуют характеристическому числу, мнимые части полученных решений.

Таким образом

-есть частные решения системы (5), принадлежащие фундаментальной системе решений, соответствующие двум комплексным корням характеристического уравнения.

Пример 2. Найти общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Решение. Характеристическое уравнение

имеет корни Построим комплексное решение вида

соответствующее характеристическому числу. Числа и определяем из системы уравнений

,

Второе уравнение является следствием первого, поэтому для определения чисел и имеем только одно уравнение

Полагая = 1, находим = i, так что

Отсюда (отделяя действительную и мнимую части) получаем два действительных линейно независимых частных решения:

Умножая первую и вторую строки фундаментальной системы решений на произвольные постоянные С₁ и С₂ соответственно и складывая по столбцам, получаем общее решение данной системы дифференциальных уравнений в случае комплексных корней характеристического уравнения.

3. Рассмотрим случай, когда характеристическое уравнение системы имеет кратные корни. Покажем метод решения на примере.

Пример 3. Найти общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Решение. Составим характеристическое уравнение системы и найдем его корни.

Характеристическое уравнение имеет корни k ₁ = 2, k ₂ = k ₃ = 1

Найдем сначала частные решения вида

которые соответствуют простому характеристическому числу k ₁ = 2.

Числа и найдем из системы уравнений

Так как определитель системы равен нулю, а ранг системы равен 2, то одно из уравнений системы является следствием двух других. Поэтому для определения чисел и будем иметь систему двух уравнений с тремя неизвестными.

Придавая одному из неизвестных произвольное значение, находим два других в зависимости от первого.

Но проще взять в качестве значений неизвестных чисел и алгебраические дополнения элементов первой строки определителя

.

Получим: = 3, = 6, = 6 или (сократив на 3) = 1, = 2, = 2 Таким образом, частными решениями, соответствующим простому характеристическому числу k ₁ =2, будут

,

Теперь построим два линейно независимых частных решения, соответствующих кратному характеристическому числу k ₂ = k ₃ = 1.

Частные решения будем искать в виде

где - многочлены от х с неопределенными коэффициентами

степени на единицу меньше кратности характеристического числа.

Коэффициенты А ₁, А ₂, В ₁, В ₂, С ₁, С ₂ определяются подстановкой предполагаемого решения в данную систему дифференциальных уравнений. Выполняя эту подстановку и сокращая на е^х, получим:

Приравнивая коэффициенты при х левой и правой частей, получим систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов:

Решая эту систему, будем иметь:

А₁ = С₁, В₁= 0, А₂ = С₁+С₂, В₂ = 3С₁,

причем С₁ и С₂ произвольные постоянные.

Решение системы принимает вид:

В качестве двух линейно независимых частных решений, соответствующих характеристическим числам k ₂ = k ₃ = 1, можно взять

первое из которых получается, если положить С ₁ =1, а С ₂ = 0, а второе –

С ₁ = 0, С ₂ = 1.

Фундаментальная система решений имеет вид

,

Умножая первую строку фундаментальной системы решений на вторую – на и третью – на и, складывая по столбцам, получим общее решение данной системы дифференциальных уравнений