Вычисление двойных интегралов

Основные свойства двойного интеграла

Двойной и тройной интегралы. Определение и основные свойства.

Литература

Основные вопросы.

Лекция 21.

Тема: Кратные интегралы, определение и основные свойства. Вычисление кратных интегралов.

Цель лекции. Изучить основные понятия, относящиеся к кратным интегралам. Изучить основные свойства кратных интегралов и их вычисление.

1. Двойной и тройной интегралы. Определение и основные свойства.

2. Вычисление двойных и тройных интегралов в декартовых координатах.

3. Двойной интеграл в полярных координатах. Замена переменных в двойном интеграле.

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.- М. Наука,1985 –Т.1. –456с.

2. Хасеинов К.А. Каноны математики. Учебник –Алматы, 2003 –686с.

3. Байбазаров М.Б., Байтуреев К.Т., Невердовский В.Г. Кратные интегралы. Криволинейные и поверхностные интегралы. Ряды. Сборник задач по высшей математике. – Алматы, 2012. –110с.

Краткое содержание.

Пусть функция f(x,y) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости Оxy. Разобьем область D произвольным образом на n элементарных областей таких, что и (здесь символ обозначает также площадь области), и пусть d _1, d ₂ ,…, d _n –диаметры частичных областей. Выберем в каждой элементарной области произвольную точку и умножим значение функции в точке на площадь этой области и составим сумму таких произведений:

Cумма (1) называется интегральной суммойдля функции по области D. Обозначим через, если, то и.

Определение. Двойным интегралом от функции по области D называется конечный предел интегральной суммы (1) при, не зависящий от способа разбиения области D на части и выбора точек.

Двойной интеграл обозначается символом

. (2)

Если >0 в области D, то двойной интеграл равен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью, цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси О z, и областью D плоскости Оxy.

В декартовых координатах элемент площади, тогда двойной интеграл записывают в виде

.

1.

2., где k – const.

3. Если область D представляет с собой сумму двух областей D ₁ и D ₂, то

.

4. Оценка двойного интеграла. Если m и M – наименьшее и наибольшее значения функции в области D, то

, где S – площадь области D.

5. Теорема о среднем. Если непрерывна в области D, то в этой области найдется по крайней мере одна точка такая, что

,

где S площадь области D.

Вычисление двойных интегралов сводится к повторным (двукратным) интегралам по каждой из переменных в случае, если область интегрирования имеет специальный вид. Рассмотрим два областей интегрирования.

1.Область D называется правильной в направлении оси Оу, если прямая, параллельная оси Оу пересекает границу области не более чем в двух точках.

Такую область можно записать в виде неравенств

у

D

O а b x

В этом случае двойной интеграл вычисляется через повторные интегралы по формуле

Внутренний интеграл интегрируется по переменной у при постоянном х и его значение является подынтегральной функцией для внешнего интеграла.

2. Область D называется правильной в направлении оси Ох, если прямая, параллельная оси Ох пересекает границу области не более чем в двух точках. Такую область можно записать в виде неравенств

у у=с

D

у=d

O y

В этом случае двойной интеграл вычисляется через повторные интегралы по формуле

Внутренний интеграл интегрируется по переменной х при постоянном у и его значение является подынтегральной функцией для внешнего интеграла.

Пример. Вычислить двойной интеграл, если область D ограничена линиями y = x; xy = 1, x = 2.

Решение. 1) Область D изобразим на чертеже.

yx= 2

xy= 1 y=x

О х

2)Так как область D правильная в направлении оси Оу, то за внешнюю переменную выберем х. Тогда область D запишется в виде неравенств

.

3) Двойной интеграл запишем через повторные интегралы и вычислим его.

,

При вычислении двойных интегралов иногда необходимо изменить порядок интегрирования. Поэтому, в качестве примера, изменим порядок интегрирования в двукратном интеграле

Область D ограничена прямыми х =1, х = 2, у = х и кривой. Спроектируем область D на ось Оу, получим отрезок [½,2]. Правой границей является прямая х = 2, левая – на участке [½,1] кривая, на участке [1,2] прямая х = у. Следовательно, область D необходимо разбить на две части. А двукратный интеграл – на сумму двух двукратных интегралов по областям Будем иметь

.

Вычисляя интеграл с измененным порядком интегрирования, получим тот же результат.