Формы представления переключательной функции

Маска

Битовые строки

Роль математики и логики в создании КС.

Для формального описания работы цифровых схем применяют аппарат алгебры логики, где используют понятия логическая переменная, логическая функция. Переменная принимает только 2 значения(0 или 1). Логическая функция включает несколько логических переменных, связанных математическими знаками операции алгебры логики. Существуют различные способы представления логических функций(аналитические, табличные). Используют функции конъюнкции, дизъюнкции, отрицание, импликации, эквиваленции.

Таблица истинности – это функциональная взаимозависимость значений выходной величины Yi логического устройства, с каждой из взаимных итых операций входных переменных, представленных в табличной форме.

Простейшие преобразователи

Наименование формы	Вид логической операции
Дизъюнкция	конъюнкция	инверсия	Ф. Шеффера	Ф. Пирса
Символическая	V,+	^,*	x	|	↓
Буквенная	или	и	не	И-не	Или-не
Условная(УГО)
Аналитическая	Yд=x1vx2	Yк=X1^x2	Yи=	Yш=X1|x2	Yп=X1x2
Таблица истинности

Для каждой системы кодирования характерно свое деление ячейки на поля(части и интерпретация этих полей. Например, при записи чисел с ПТ, ячейка делится на 3 поля: поле знака, поле порядка, поле мантиссы.

Понятие битовых строк распространяется на наборы, в которых отдельные последовательности битов объединены в группы, т.е. вводит любое нестандартное для данной компьютерной системы деление ячейки на поля.

Операции с битовыми строками

Самая простая машинная операция – пересылка, суть которой копирование одной ячейки памяти в другую. Операции с битовыми строками относятся к числу простых.

Логические сдвиги – ячейка из n битов содержит битовую строку А в виде а_n-1a_n-2…а₀

Операция «сдвиг влево логический» превращает строку А в новую строку А’-> а_n-2a_n-3…а₀0

При этом бит крайний левой выходит за пределы ячейки и теряется. К краткое применение операции приведет к сдвигу исходной строки на К позиций, при К=n битовая строка превратится в нулевую.

Операция «сдвиг вправо логический» выполняется аналогично и переводит битовую строку в А’’->0_an-1an-2…a1

SLL A, K- сдвиг строки А влево на К позиций

SPL A, K – сдвиг строки а вправо на К позиций

SLC A, K – сдвиг влево циклический

а_n-2a_n-3…а₀а_n-1

Часто, при шифровании информации используют шаблон – маску, таким образом, прочитать информацию можно только с помощью этого шаблона. В КС в качестве маски может быть использована любая битовая строка. Единицы играют роль прорезей в шаблоне.

А7 А6 А5 А4 А3 А2 А1 А0 – битовая строка

0 0 0 1 0 0 1 0 - маска

0 0 0 А4 0 0 A1 0 – результат

Данная операция эквивалентна логическому умножению байта на маску и называется прочитать по маске. Есть операция «собрать по маске». Она заключается в том, что нужно прочитать по маске и сдвинуть результат в левый край байта. Остальные биты заполняются нулями.

Пример:

11011000 – исходная строка

00101000 – маска

00001000 – прочитать по маске

01000000 – собрали по маске(разобрать по маске – вернуться на 1 шаг назад)

Нормальные формы – эти формы представляют дизъюнкции элементарных конъюнкций или конъюнкции элементарных дизъюнкций.

)

Любая функция имеет несколько ДНФ или КНФ. Однозначность представления функции возможна только при записи ее в совершенных нормальных функциях.

СДНФ – это логическая сумма всех переменных, для которых функция равна 1.

СКНФ – то логическое произведение всех переменных, для которых функция равна 0.

Х1	Х2	Х3	F(x1, x2, x3)	Хсднф и Хскнф

Минимализация функции алгебры логики (ФАЛ)

Логическую схему, реализующую заданный алгоритм, можно синтезировать по выражению СДНФ или СКНФ. Однако, полученная схема не оптимальна с точки зрения реализации. Исходное выражение минимализируют, цель – снижение стоимости реализации. Основной критерий – уменьшение количества элементарных элементов при разработке схемы, а также использование только однородных элементов типа и-не, или-не.

Минимализация – упрощение логического выражения с целью уменьшения числа членов и уменьшение числа аргументов в каждом члене. Выполнение процесса минимализации позволяет уменьшить число логических элементов на одном кристалле.

Минимализация возможна двумя основными путями:

1) алгебраическая минимализация логических функций состоит в использовании аксиом, законов и тождеств алгебры логики.
Аксиомы: 1+А=А, А + А=А, 0*А=0, А*А=0

Основные законы: А) дистрибутивные А(В+С)=АВ+АС

Б) Двойственности (Де Моргана) А+В=А*В, А*В=А+В

В) Соотношения: 1. поглощения А+А*В=А, А(А+В)=А

2. склеивания А*В+А*В=А, (А+В)(А+В)=А

2) Метод минимизации графический

Процедуру минимизации ФАЛ можно формализировать, если воспользоваться представлением в виде карт макстермов и минтермов. Распространение получили карты Карно или Вейче.

Карта – это таблица, число клеток которой соответствует числу переменных функции 2ⁿ. Каждому минтерму соответствует своя клетка, если нужно представить на карте логическую функцию, заданную в СДНФ, то в соответствующей клетке заносится 1, остальные заполняют 0.

Функция 2х переменных

Функция 3х переменных

Понятие «Базис»

При составлении схем из логических элементов, решаются задачи анализа и синтеза. Задача синтеза – выбор типов элементов, на которых будут реализованы заданные функции. Минимальный набор логических элементов, образующих функционально полную систему элементов, называют базис, т.е. с помощью элементов базиса можно реализовать сколь угодно сложную логическую функцию.

1. Основной базис (базис Буль)

Элементы И, ИЛИ, НЕ

2. Базис Шеффера

Элемент И-НЕ

3. Базис Пирса

Элементы ИЛИ-НЕ

1)y=A*B+A*B