Приближенное решение систем нелинейных уравнений

12 13 14 15 16 17 18

Метод Ньютона. Рассмотрим, вообще говоря, нелинейную систему уравнений

(9.1)

с действительными левыми частями.

Запишем короче систему (9.1). Совокупность аргументов х₁, х_2,…,х_п можно рассматривать как n -мерный вектор

Аналогично совокупность функций f₁, f ₂,..., f_n представляет собой также n -мерный вектор (вектор-функцию)

Поэтому система (9.1) кратко записывается так:

f(x) = 0. (9.2)

Для решения системы (9.2) будем пользоваться методом последовательных приближений.

Предположим, что найдено р -еприближение

одного из изолированных корней х=(x_1,х₂,..., х_п) векторного уравнения (9.2). Тогда точный корень уравнения (9.2) можно представить в виде

, (9.3)

где - поправка (погрешность корня).

Подставляя выражение (9.3) в уравнение (9.2), будем иметь:

. (9.4)

Предполагая, что функция f(x) непрерывно дифференцируема в некоторой выпуклой области, содержащей x и x⁽^p⁾, разложим левую часть уравнения (9.4) по степеням малого вектора ε⁽^p⁾, ограничиваясь линейными членами,

(9.5)

или, в развернутом виде,

(9.6)

Из формул (9.5) и (9.6) вытекает, что под производной f ´(x) следует понимать матрицу Якоби системы функций f₁, f₂,…,f_n относительно переменных x₁, x₂,…,x_n, т.е.

или в краткой записи

Система (9.6) представляет собой линейную систему относительно поправок (i=1,2,…,n) с матрицей W(x), поэтому формула (9.5) может быть переписана в виде

Отсюда, предполагая, что матрица - неособенная, получим:

Следовательно,

(9.7)

(метод Ньютона).

За нулевое приближение x⁽⁰⁾ можно взять грубое значение искомого корня.

Метод итерации. Пусть дана система нелинейных уравнений специального вида

(9.8)

где функции действительны, определены и непрерывны в некоторой окрестности ω изолированного решения этой системы.

Введя в рассмотрение векторы

и ,

систему (9.8) можно переписать более кратко:

. (9.9)

Для нахождения вектор-корня уравнения (9.9) часто удобно использовать метод итерации

(9.10)

где начальное приближение . Заметим, что если процесс итерации (9.10) сходится, то предельное значение

(9.11)

обязательно является корнем уравнения (9.9). Действительно, предполагая, что соотношение (9.11) выполнено, и переходя к пределу в равенстве (9.10) при р, в силу непрерывности функции φ(х) будем иметь:

т.е.

Таким образом, ξ есть корень векторного уравнения (9.9).

Если, сверх того, все приближения х⁽^p⁾ (р = 0, 1, 2,...) принадлежат области ω и х* — единственный корень системы (9.10) в ω, то, очевидно,

Метод итерации может быть применен также к общей системе

f(x)=0, (9.12)

где f(x) —вектор-функция, определенная и непрерывная в окрестности ω изолированного вектор-корня х*. Например, перепишем эту систему в следующем виде: