Конечные разности различных порядков. Пусть
y = f(x) — заданная функция. Обозначим через Δ х =h фиксированную величину приращения аргумента (шаг). Тогда выражение
(11.1)
называется первой конечной разностью функции у. Аналогично определяются конечные разности высших порядков
Например,
Пример 11.1. Построить конечные разности для функции Р(х) = х3, считая шаг Δ х= 1.
Решение. Имеем:
при n >3.
Обратим внимание, что конечная разность третьего порядка функции Р(х) постоянна.
Вообще, справедливо утверждение: если
- полином n -ой степени, то , где .
Действительно, имеем:
Раскрыв по биному Ньютона круглые скобки, легко убедиться, что представляет собой полином (n- 1)-ой степени:
где
Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что вторая разность есть полином (n -2)-ой степени:
причем
Проводя последовательно аналогичные рассуждения, мы в конце концов установим, что
Как следствие получаем
при s>n.
Символ Δ (дельта) можно рассматривать как оператор, ставящий в соответствие функции у = f (х) функцию Δу =f(х+Δx)—f(х) (Δ х постоянно). Легко проверить основные свойства оператора Δ:
1)
2) - постоянная;
3) где m и n – целые неотрицательные числа, причем по определению полагают .
Из формулы (11.1) имеем:
отсюда, рассматривая Δ как символический множитель, получим:
(11.2)
Последовательно применяя это соотношение n раз, будем иметь:
(11.3)
Воспользовавшись формулой бинома Ньютона, окончательно выводим:
(11.4)
где
- число сочетаний из n элементов по m.
Таким образом, с помощью формулы (11.4) последовательные значения функции f(x) выражаются через ее конечные разности различных порядков.
Воспользовавшись тождеством
Δ=(1+Δ)-1 (11.5)
и применяя бином Ньютона, получаем:
Отсюда в силу формулы (11.3) будем иметь:
(11.6)
Формула (11.6) дает выражение конечной разности n -го порядка функции f(х) через последовательные значения этой функции.
Пусть функция f(х) имеет непрерывную производную f(n)(х) на отрезке (х,x+nx). Тогда справедлива важная формула
(11.7)
где
Формулу (11.7) проще всего доказать, используя метод математической индукции.
В самом деле, при п = 1 мы получаем теорему Лагранжа о конечном приращении функции и, следовательно, формула (11.7) верна. Пусть теперь при k < n имеем:
где
Тогда
Применяя теорему Лагранжа к получившемуся приращению производной f(k) (х), будем иметь:
где Полагая
, (11.8)
окончательно получим:
где
Таким образом, установлен переход oт k к k+1 и, следовательно формула (11.7) доказана.
Из формулы (11.7) имеем:
Отсюда, переходя к пределу при Δх→0 и предполагая, что производная f(n)(x) непрерывна, получим:
(11.9)
Следовательно, при малых Δ х справедлива приближенная формула
(11.10)
Таблица разностей. Часто приходится рассматривать функции у=f(х), заданные табличными значениями yi = f(xi) для системы равноотстоящих точек хi (i=0, 1, 2,...), где
Конечные разности последовательности уi естественно определяются соотношениями
Из первого равенства имеем:
Отсюда последовательно выводим:
Использовав формулу бинома Ньютона, получим:
Обратно, имеем:
или
Например,
и т.д. Заметим, что для вычисления n -ой разности нужно знать n+1 членов данной последовательности.
Конечные разности различных порядков удобно располагать в форме таблиц двух видов: горизонтальной таблицы разностей (таблица 11.1) или диагональной таблицы разности (таблица 11.2).
Горизонтальная таблица разностей
x | y | Δ y | Δ 2y | Δ 3y |
x0 x1 x2 … | y0 y1 y2 … | Δ y0 Δ y1 Δ y2 … | Δ 2y0 Δ 2y1 Δ 2y2 … | Δ 3y0 Δ 3y1 Δ 3y2 … |