Интерполирование функций

Таблица 11.3

Таблица 11.2

Таблица 11.1

Диагональная таблица разностей

x	y	Δ y	Δ ²y	Δ ³y
x₀ x₁ x₂ x₃	y₀ y₁ y₂ y₃	Δ y₀ Δ y₁ Δ y₂	Δ ²y₀ Δ ²y₁	Δ ³y₀

Пример 11.2. Составить горизонтальную таблицу разностей функции

(11.11)

от начального значения х_о = 0, приняв шаг h =1.

Решение. Полагая , находим соответствующие значения Отсюда имеем:

Эти значения заносим в таблицу (таблица 11.3).

Горизонтальная таблица разностей кубической функции (11.11)

x	y	Δ y	Δ ²y	Δ ³y
____2___ …	-1 ___13___ …	__11__ …	___8___ …	…

Так как наша функция есть полином третьей степени, то третья разность ее постоянна

Поэтому дальнейшее заполнение таблицы 11.3 можно производить при помощи суммирования, используя формулы

Ступенчатой ломаной отмечены исходные данные для составления таблицы.

Определение. Обобщенной n-степенью числа х называется произведение п сомножителей, первый из которых равен х, а каждый следующий на h меньше предыдущего:

где h — некоторое фиксированное постоянное число.

Показатель обобщенной степени обычно записывается в квадратных скобках. Полагают x^[0]= 1.

Простейшая задача интерполирования заключается в следующем. На отрезке [а, b] заданы п+1 точки х₀, x₁.... х_п, которые

Рис.8.

называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции f(х) в этих точках

Требуется построить функцию F(х) (интерполирующая функция), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(х), т. е. такую, что

Геометрически это обозначает, что нужно найти кривую у=F(х) некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек M_i(x_i у_i.) (i=0, 1, 2,...) (рис 8).

В такой общей постановке задача может иметь бесчисленное множество решений или совсем не иметь решений.

Однако эта задача становится однозначной, если вместо произвольной функции F(х) искать полином Р_п(х) степени не выше n, такой, что

Полученную интерполяционную формулу

y = F(x)

обычно используют для приближенного вычисления значений данной функции f(х) для значений аргумента х, oтличных от узлов интерполирования. Такая операция называется интерполированием функции f (х). При этом различают интерполирование в узком смысле, когда х[х₀, х_п], т. е. значение х является промежуточным между х₀ и х_п, и экстраполирование, когда х[х₀, х_п].