Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона

Лабораторная работа №2

Рассмотрим систему п уравнений с п неизвестными

(2.1)

Относительно функций f_i (x) предположим, что в некоторой выпуклой области G, содержащей решение системы, они имеют непрерывные производные первого порядка и в некоторой окрестности решения матрица

не вырождена. Тогда решение системы (2.1) можно найти так. Рассмотрим систему уравнений

или в векторной форме

( 2.2.)

где

— матрица, обратная f(х).

Решение системы (2.1) является и решением системы (2.2), причем можно найти методом итерации, т. е. как результат итерационною процесса.

(2.3)

Этот процесс сходится к , если только начальное приближение x⁽⁰⁾ взято достаточно близко к .

Счет по формуле (2.3) связан с большим количеством вычислений, так гак на каждом шаге нужно находить матрицу . Поэтому иногда рассматривают модификацию метода, предложенную Л. В. Канторовичем.

Вместо системы (2.2) рассматривают систему

(2.4)

а решение ее получают как предел последовательности

(2.5)

Систему нелинейных уравнений

(2.6)

………………..

запишем в векторной форме F(x)=0, где

Итак, если известно начальное приближение , то последующие приближения по методу Ньютона вычисляются по формуле

где — обратная матрица для матрицы

в точке .