Теплопроводность

Теплопроводность имеет место быть в твердых телах и в неподвижных слоях жидкостей и газов. Теплота при этом передается путем соприкосновения нагретых и холодных частиц тела за счет их собственной проводимости теплоты.

В каждой точке пространства частица вещества имеет определенную температуру в данный момент времени. Совокупность температур во времени и пространстве называют температурным полем. Аналитическая запись температурного поля представляет собой функцию температуры:

, (2.26)

где x, y, z – координаты пространства, τ – координата времени.

В зависимости от координат различают стационарное (не зависящее от времени) и нестационарное температурное поле, одно-, двух- и трехмерное температурное поле.

Если в пространстве имеются точки с одинаковой температурой, то линии, соединяющие эти точки, образуют собой изотермические поверхности, т.е. изотермические поверхности – это геометрическое место точек с одинаковой температурой.

На плоскости изотермические поверхности изображаются изотермическими линиями. Линии перпендикулярные изотермам называются линиями тока теплоты (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Изображение изотермических линий (––––) и линий тока тепла (– – –):

(а) плоская стенка; (б) цилиндрическая стенка; (в) сложное тело

Изменение температуры всегда происходит в направлениях обязательно пересекающих изотермические поверхности. Но пересечение может быть различным, например, в направлении х и п (рис. 2.3). При этом самое большое изменение температуры будет по нормали проведенной к изотермической поверхности.

Предел отношения изменения температуры к расстоянию между изотермами взятое по нормали, при условии, что Δ n → 0, называется температурным градиентом.

, градус/м. (2.27)

То есть температурный градиент это вектор, направленный в сторону увеличения температуры. Температурный градиент, взятый с обратным знаком, называется падением температуры.

Рис. 2.3. К определению градиенту температуры

Формулы для расчета теплопроводности получают путем интегрирования уравнения закона Фурье:

, Вт, (2.28)

где λ – коэффициент теплопроводности, Вт/(м∙К).

Согласно закону Фурье, количество теплоты, передаваемое путем теплопроводности вещества прямо пропорционально падению температуры, времени за которое произошло это падение и площади перпендикулярной распространению тепла.

Знак минус в формуле (2.28) обозначает, что теплота в веществе распространяется в одну сторону – в сторону убывания температуры.

Плотность теплового потока из закона Фурье можно найти:

. (2.29)

Плотность теплового потока может иметь как положительное значение (при охлаждении тел), так как ее направление совпадает с направлением градиента температуры, так и отрицательное (при нагревании тел), так как направление плотности теплового потока не совпадает с направлением градиента температуры.

Коэффициент теплопроводности относится к основным теплофизическим параметрам рабочего тела. Он характеризует способность тел проводить тепло. Численное значение коэффициента теплопроводности представляет собой количество теплоты, проходящее за единицу времени, через единицу площади изотермической поверхности толщиной 1 м, при перепаде температур на ее поверхностях 1 градус К.

Коэффициент теплопроводности для различных веществ имеет различные значения и, прежде всего, зависит от физических свойств материала:

- для газов он имеет значение Вт/(м∙К);

- для жидкостей он имеет значение Вт/(м∙К);

- для твердых не металлических веществ он имеет значение

Вт/(м∙К);

- для металлов он имеет значение Вт/(м∙К);

На величину коэффициента теплопроводности оказывает влияние множество факторов, таких как температура, плотность, строение кристалла, влажность, электропроводность и др.

Зависимость коэффициента теплопроводности от температуры для большинства материалов носит линейный характер

, (2.30)

где λ₀ – значение коэффициента теплопроводности при 0 ºС; β – постоянная, зависящая от свойств материала.

Стационарный тепловой поток, проходящий через однородную плоскую стенку толщиной δ, выполненную из материала с коэффициентом теплопроводности λ, определяют по формуле

, (2.31)

где t ₁ и t ₂ – температуры на поверхностях стенки (см. рис. 2.4).

Рис. 2.4. Теплопроводность через плоскую стенку:

(а) однородную; (б) многослойную

Изменение температуры по толщине плоской стенки носит линейный характер. Это вытекает из дифференциального уравнения теплопроводности для стационарных условий нагрева одномерного тела.

. (2.32)

Решение уравнения (2.32) относительно температуры дает выражение для температуры в любой точке плоской стенки:

. (2.33)

Формулу (2.31) можно заменить на выражение

. (2.34)

Здесь термическое сопротивление будет представлять собой , м²·град/Вт. Термическое сопротивление плоской стенки – это температурный напор, приходящийся на единицу удельного расхода теплоты.

Очевидно, что для стенки состоящей из множества слоев термическое сопротивление будет равно сумме термических сопротивлений каждого слоя:

. (2.35)

Если стенка имеет цилиндрический вид (рис. 2.5), то формула для расчета теплового потока будет вид:

, Вт, (2.36)

где L – длина цилиндрической стенки, м; – термическое сопротивление цилиндрической стенки, м·град/Вт. Термическое сопротивление цилиндрической стенки – это температурный напор, приходящийся на единицу удельного расхода теплоты, уменьшенного в π раз.

Для цилиндрической стенки изменение температуры по толщине стенки носит экспоненциальный характер, что вытекает из дифференциального уравнения теплопроводности

. (2.37)