2014-02-24
929
Метод разложение на множители
Решить уравнение cos2x+sinx
cosx=1
Решение: cos2x+sinxcosx=1
cos2x+sinxcosx−cos2x−sin2x=0sinxcosx−sin2x=0 sinx
cosx−sinx
=0
sinx=0
cosx−sinx=0
sinx=0tgx=1
x=
nn
Zx=
4+kkZ.
Решить уравнение 3sinx+4cosx=1
Решение: Используя формулы двойного угла и основное тригонометрическое тождество, приводим данное уравнение к половинному аргументу:32sinx2cosx2+4cos2x2−4sin2x2=sin2x2+cos2x2. После приведения подобных слагаемых имеем: 5sin2x2−6sinx2cosx2−3cos2x2=0. Разделив однородное последнее уравнение на cos2x2
=0, получим 5tg2x2−6tgx2−3=0. Введем новую переменную tgx2=t, получим квадратное уравнение 5t2−6t−3=0, корнями которого являются числа t1
2=53
24 Таким образом tg2x1=53−26иtg2x2=53+26. Общее решение можно записать так x12=2arctg5326+2kkZ
Замечание. Выражение cos2x2 обращается в нуль при x2=
2+
k
k
Z, т.е. при x=+2kkZ. Полученное нами решение уравнения не включает в себя данные числа.
