Метод приведение к однородному уравнению

Метод разложение на множители

Решить уравнение cos2x+sinxcosx=1

Решение: cos2x+sinxcosx=1cos2x+sinxcosx−cos2x−sin2x=0sinxcosx−sin2x=0 sinxcosx−sinx=0sinx=0cosx−sinx=0sinx=0tgx=1x=nnZx=4+kkZ.

Решить уравнение 3sinx+4cosx=1

Решение: Используя формулы двойного угла и основное тригонометрическое тождество, приводим данное уравнение к половинному аргументу:32sinx2cosx2+4cos2x2−4sin2x2=sin2x2+cos2x2. После приведения подобных слагаемых имеем: 5sin2x2−6sinx2cosx2−3cos2x2=0. Разделив однородное последнее уравнение на cos2x2=0, получим 5tg2x2−6tgx2−3=0. Введем новую переменную tgx2=t, получим квадратное уравнение 5t2−6t−3=0, корнями которого являются числа t12=5324 Таким образом tg2x1=53−26иtg2x2=53+26. Общее решение можно записать так x12=2arctg5326+2kkZ

Замечание. Выражение cos2x2 обращается в нуль при x2=2+kkZ, т.е. при x=+2kkZ. Полученное нами решение уравнения не включает в себя данные числа.