Случайные события. Возведение многочлена в степень

Возведение многочлена в степень

(сумммирование ведется по всем целым неотрицательным , таким, что ).

Тео́рия вероя́тностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Определение, основные формулы

Классическое определение вероятности

(m - число благоприятных исходов опыта; n - число всех его исходов)

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Теорема умножения вероятностей независимых событий

Теорема умножения вероятностей зависимых событий

где - вероятность события B при условии, что произошло событие A.

Формула полной вероятности

где - полная группа гипотез, т. е.

( - достоверное событие).

Формула Бейеса

где - полная группа гипотез.

Повторение испытаний

Формула Бернулли

где - вероятность появления события A ровно k раз при n независимых испытаниях; p - вероятность появления события A при каждом испытании.

Вероятность того, что при этом событие A:

1) наступит n раз: ;

2) не наступит ни разу: ;

3) наступит хотя бы один раз: ;

4) наступит не более k раз: ;

5) наступит не менее k раз: .

Локальная теорема Лапласа

где вероятность появления события A ровно k раз при n независимых испытаниях p вероятность появления события A при каждом испытании

.

Интегральная теорема Лапласа

где - вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A появится не менее k₁ и не более k₂ раз; - функция Лапласа; ; .

Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности

Наивероятнейшее число k₀ появления события A при n независимых испытаниях

(n - число испытаний; p - вероятность появления события при одном испытании).