Истечение газов через сужающиеся сопла (конфузоры)

Рис. 2.12

На рис. 2.12 обозначены: р_i, v_i, w_i и f_i - давление, удельный объем, скорость газа в рассматриваемом сечении и площадь этого сечения. При i=1 указанные параметры соответствуют сечению I-I, а при i=2 - сечению II-II.

По отмеченной выше причине процесс течения газа через сопло предполагается адиабатным . При допущении, что и учитывая зависимость, уравнение первого закона термодинамики для потока (2.36) можно представить в виде

. (2.46)

Беря интеграл с обеих частей последнего уравнения, находим

. (2.47)

В силу имеющегося условия f₁ >> f₂, w₂ >> w₁, можно пренебречь и уравнению (2.47) придать вид

. (2.48)

Из последнего выражения следует, что в конфузоре изменение кинетической энергии потока рабочего тела происходит лишь благодаря изменению его энтальпии.

Задача расчета конфузора сводится к определению w₂ при заданных значениях параметров р₁, v₁, р₂.

Перепишем уравнение (2.48) в виде

. (2.49)

Исходя из первого закона термодинамики для адиабатного процесса , определяем значение первого слагаемого правой части
уравнения (2.49):

. (2.50)

Найденное выражение подставляем в уравнение (2.49) и определяем w₂ – скорость истечения рабочего тела через сечение II - II

. (2.51)

Далее используя формулу (2.51) для скорости и уравнение неразрывности для потока , а также введя обозначение , напишем соответствующие выражения для скорости потока и секундного массового расхода газа через сужающееся сопло в виде

, (2.52)

. (2.53)

Учитывая, что течение через конфузор адиабатное, напишем выражение для удельного объема газа на выходе из сопла

. (2.54)

Подставив выражение (2.54) в формулу (2.53), находим

. (2.55)

Рассматривая формулу (2.55) как функцию, исследуем ее на экстремум. В результате находим критическое значение β_кр, при котором массовый расход газа через конфузор имеет максимальное значение

. (2.56)

Подставив (2.56) в формулу (2.52), определяем максимально возможную скорость газа на выходе из конфузора:

, (2.57)

которую можно выразить еще через критические параметры состояния:

тогда

, (2.58)

где - скорость распространения звуковых волн в идеальном газе.

Распределению скорости вдоль сопла соответствуют условия

для 1>β≥β_кр, 0<w₂<w_кр;

для β_кр>β>0, w₂=w_кр.

Формула (2.58) позволяет сделать вывод - скорость истечения из сужающегося сопла при критических условиях равна местной скорости звука. Поэтому скорость рабочего тела в конфузорах не может превышать скорости звука.

Выражение для максимального массового расхода через конфузор определяется путем подстановки выражения (2.56) в формулу (2.55)

. (2.59)

Как отмечалось выше, для получения сверхзвуковых скоростей необходимо использовать сопло Лаваля, в минимальном сечении которого скорость потока должна быть равна w_кр.

Расчет сужающейся части сопла Лаваля проводится точно так же, как и для обычного сужающегося дозвукового сопла. Площадь минимального сечения сопла определяется по заданному :

, откуда диаметр этого сечения будет равен.

Длину сужающейся части сопла Лаваля обычно принимают равной диаметру минимального сечения сопла

Скорость на выходе из сопла Лаваля определяется формулой (2.52).

Площадь выходного сечения сопла Лаваля f₂ определяется из
уравнения (), соответственно диаметр этого сечения вычисляется из выражения . Длину расширяющейся части сопла l₂ вычисляют по формуле