Функции Уолша

Система функций Уолша впервые была описана математиком Уолшем (Walsh J.) в 1923 г.

Система функций Уолша , i =0, 1, 2,…, 0≤θ<1 является расширением системы функций Радемахера:

, (2.8)

где ,

до полной системы и определяется как

, (2.9)

где i =0, 1, 2,…, 2 ⁿ –1,

значение j -го разряда в записи числа i в коде Грея.

Функции Уолша – кусочно-непрерывные ступенчатые функции, принимающие на области определения два дискретных значения: +1 и –1.

Упорядочение функций Уолша возможно несколькими способами.

Упорядочение по Уолшу. В данном случае упорядочение осуществляется по числу пересечений нулевого уровня.

Упорядочение по Пэли. Это наиболее удобное с точки зрения программной и особенно аппаратной реализации упорядочение.

В этом случае номер функции Уолша, представленный в двоичном коде, определяет номера перемножаемых функций Радемахера:

, (2.10)

где i_j – значение j -го разряда в двоичном представлении числа i.

Например, для функции pal ₅(θ) соответствующий двоичный код – 101, и . На рисунке 2.2 приведены первые четыре функции Уолша, упорядоченные по Пэли.

Рисунок 2.2 – Функции Уолша, упорядоченные по Пэли

Вычисление спектральных коэффициентов в базисе функций Уолша производится как

. (2.11)