Частотная форма представления сигналов

,.

Функции Хаара

Полная, ортонормированная система на интервале 0 ≤ Θ < 1.

m – номер группы, i – номер функции в группе.

(2.12)

(2.13)

(2.14)

Вычисление спектральных коэффициентов в базисе функций Хаара производится как

(2.15)

На рисунке 2.3 приведены первые восемь функций Хаара.

Рисунок 2.3 – Функции Хаара

В инженерных расчетах для упорядочения базисных функций желательно использовать один индекс. В этом случае приведенные выше восемь функций Хаара можно упорядочить следующим образом: Har₀(Θ), Har₁(θ), Har₂(θ),…, Har_i(θ),…, Har₇(θ). Изменение порядка индексации функций требует иного их описания.

, (2.16)

где i = 1,2,… – номер базисной функции;

n _c – номер старшего ненулевого разряда в двоичном представлении числа i, младший разряд имеет номер 0;

– функция Радемахера порядка n _c+1;

;

- величина i по модулю , то есть остаток от деления числа i на модуль.

При таком представлении спектральные коэффициенты в базисе функций Хаара определяются следующим образом:

(2.17)

В базисных функциях Уолша и Хаара параметр θ физически соответствует относительному времени. Для конкретного участка исследуемого сигнала, расположенного на интервале времени от t ₀ до t ₀+ Т с, где Т с – длительность рассматриваемого участка, θ определяется следующим образом:

, (2.18)

где t _x – текущее время, t ₀£ t _x< t ₀+ T c.

Сигнал на участке относительного времени 0£θ<1 можно представить в базисе функций Хаара в виде

. (2.19)

Тема 3. Частотная форма представления сигналов. Спектр периодического сигнала. Распределение энергии в спектре периодического сигнала.

Рассмотрим представление детерминированных сигналов с помощью двух первых из перечисленных нами систем базисных функций: тригонометрической и комплексных экспоненциальных функций.

В тригонометрических функциях параметр является круговой частотой гармонического колебания, (cos или sin) с периодом Т. Комплексные Экспоненциальные функции также можно представить в соответствии с формулой Эйлера в виде совокупности тригонометрических функций

То есть и в этом случае Ω₁ является круговой частотой.

Поэтому представление сигналов тригонометрическими и комплексными экспоненциальными функциями называют частотной формой представления сигналов.