Тригонометрических базисных функций

Представление периодического сигнала системой

На практике широко используется тригонометрическая форма представления сигнала, полученная непосредственным применением системы тригонометрических базисных функций.

, (3.8)

где

(3.9)

(3.10)

(3.11)

Модуль и фаза каждого комплексного спектрального коэффициента определяются соответственно выражениями:

; .

Связь спектральных коэффициентов при представлении тригонометрическими и комплексными экспоненциальными функциями:

, , .

Комплексный коэффициент спектра определяется прямым преобразованием Фурье:

. (3.12)

Периодический сигнал U (t) суммой спектральных коэффициентов с помощью обратного преобразования Фурье:

(3.13)

Аналогично (3.5) комплексный спектральный коэффициент можно представить в виде

.

Из выражения (3.12) можно получить выражение для огибающей спектра периодического сигнала. Устремив , получим

. (3.14)

В качестве примера рассмотрим спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов (ПППИ), показанной на рисунке 3.3.

Рисунок 3.3 - Периодическая последовательность

прямоугольных импульсов

Периодическую последовательность прямоугольных импульсов можно представить в виде суммы гармонических составляющих следующим образом

. (3.15)

Графически спектр амплитуд ПППИ представлен на рисунке 3.4.

Рисунок 3.4 – Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов при .

Составляющая обращается в ноль при , , так как в этом случае sin (k πτ/ T) = sin (km π) = 0.