double arrow

Полиномы Лежандра


Полиномы Лежандра Ln(x) отрогональны на отрезке [–1, 1] с единичной весовой функцией h(x)=1. Они могут быть определены на основе рекурентного соотношения

, (2.3)

при этом L0(x)=1, L1(x)=x.

Нормирующий множитель (квадрат нормы)

.

На рисунке 2.1 показаны первые четыре полинома Лежандра, вычисленные на основе (3). Упорядочение осуществляется по степени полинома.

Рисунок 2.1 – Полиномы Лежандра

Вычисление спектральных коэффициентов производится по формуле, аналогичной формуле (1.6) из темы 1:

. (2.4)

Если сигнал, подлежащий исследованию, представлен в виде дискретных во времени отсчетов, то целесообразно использовать дискретные полиномы Лежандра. Аргументом при этом является последовательность натуральных чисел 0, 1, 2,…, k,…, Km, где Km – номер последнего отсчета.

В общем виде дискретный полином Лежандра степени n определяется на Кm+1 равноотстоящих отсчетов выражением

, (2.5)

где – число сочетаний из А элементов по В элементов, n=0, 1, 2, … .

Полиномы (2.5) ортогональны на отрезке [0, Km] с единичной весовой функцией.

Нормирующий множитель (квадрат нормы) определяется как

. (2.6)

Спектральные коэффициенты определяются в этом случае выражением




. (2.7)







Сейчас читают про: