Модуль и фаза спектральной характеристики

Заменим в выражении (4.3) комплексную экспоненту в соответствии с формулой Эйлера

, (4.7)

где

, (4.8)

. (4.9)

Модуль спектральной характеристики определяется выражением

. (4.10)

Модуль спектральной характеристики S (Ω) называют еще спектром непериодического сигнала.

Фаза спектральной характеристики определяется выражением

. (4.11)

Как и для периодического сигнала, модуль S (Ω) является четной функцией частоты, а фаза φ(Ω) – нечетной функцией частоты.

Используя (4.10) и (4.11) спектральную характеристику непериодического сигнала S (j Ω) можно представить в виде

. (4.12)

Непериодический сигнал u (t), определяемый выражением (4.4) через спектральную характеристику S (j Ω), можно представить в тригонометрической форме. Используя выражение (4.12) и преобразование комплексной экспоненты по формуле Эйлера, получим

. (4.13)

Переход к интегрированию только по положительным частотам осуществлен в силу четности подынтегральной функции.

Индивидуальное задание. Рассмотреть спектральные характеристики типовых непериодических сигналов: 1) одиночный прямоугольный импульс, 2) одиночный экспоненциальный импульс, 3) единичная функция (единичный скачок или функция включения) как предельный случай экспоненциального импульса, 4) единичная импульсная функция δ(t). Источник информации: Фельдбаум А. А. и др. Теоретические основы связи и управления. М: ГИФМЛ, 1963. С. 118-124.