Распределение энергии в спектре непериодического сигнала

Энергия сигнала u (t), выделяемая на резисторе с сопротивлением 1 Ом, определяется как

. (4.14)

Выразим энергию сигнала u (t) через модуль его спектральной характеристики S (j Ω). Квадрат этого модуля представим в виде

,

где S (– j Ω) – функция, комплексно сопряженная с S (j Ω),

и проинтегрируем по частоте

.

Представим комплексно-сопряженную спектральную характеристику S (– j Ω) с помощью прямого интегрального преобразования Фурье (4.3) через сигнал u (t)

.

Поменяем порядок интегрирования и сравним в новом выражении сомножитель в квадратных скобках с (4.4)

. (4.15)

Из сравнения (4.14) и (4.15) получим

. (4.16)

Соотношение (4.16) называют равенством Парсеваля или теоремой Рейли. Из этого соотношения следует, что энергию непериодического сигнала за время его существования можно определить, интегрируя квадрат модуля спектральной характеристики этого сигнала.

Каждое из бесконечно малых слагаемых в выражении (4.16) представляет собой энергию, выделяемую спектральными составляющими сигнала, расположенными в полосе частот d Ω от Ω до Ω+ d Ω.

Величина называется энергетической спектральной плотностью непериодического сигнала и характеризует распределение энергии по спектру непериодического сигнала.

Конечный во времени сигнал имеет бесконечный по протяженности спектр. Для таких сигналов равенство Парсеваля может быть использовано для определения практической ширины спектра непериодического сигнала.

Для сигналов, теоретически бесконечных во времени (например, экспоненциальных сигналов) на основе равенства Парсеваля можно определить практическую длительность сигнала.

При этом используются соответственно соотношения

, (4.17)

, (4.18)

где h - коэффициент, близкий к 1 (от 0.9 до 0.999 в зависимости от качества воспроизведения сигнала);

Ω_С – практическая ширина спектра;

Т _С – практическая длительность сигнала.

Естественно, отбрасывание части спектра выше частоты Ω_С приведет к искажению сигнала. Квадрат относительной погрешности представления непрерывного сигнала конечным числом спектральных составляющих определяется соотношением

, (4.19)

где Е _х – энергия отброшенной части спектра,

Е _С – полная энергия сигнала.