Практическая ширина спектра

Пример применения равенства Парсеваля

Рассмотрим пример использования приведенных выше соотношений (4.17) и (4.18) для определения практической ширины спектра одиночного сигнала и практической его длительности. Знание практической ширины спектра сигнала необходимо при рассмотрении вопросов дискретизации этого сигнала. Знание практической длительности сигнала позволяет ограничить время исследования этого сигнала.

Пусть сигнал описывается экспоненциальной функцией

.

Используя прямое преобразование Фурье (см. выражение (4.3), найдем спектральную характеристику этого сигнала.

.

Для определения действительной и мнимой составляющих спектральной характеристики умножим числитель и знаменатель полученного выражения на один и тот же сомножитель (1– j Ωτ).

.

Отсюда определим квадрат модуля спектральной характеристики, используя выражение (4.10),

.

Вычислим интеграл от квадрата модуля спектральной характеристики правой части выражения (4.17)

.

Интеграл от квадрата модуля спектральной характеристики левой части выражения (4.17)

.

Подставляя эти значения в уравнение (4.17), получим

.

Отсюда, задаваясь коэффициентом h, по соответствующим таблицам определим произведение Ω_Сτ. Переходя от круговой частоты к линейной, получим практическую ширину спектра сигнала в Гц

.

Например, при h=0.98 получим Ω_Сτ=30. Если принять τ=1с, то практическая ширина спектра экспоненциального сигнала при выбранных условиях примерно составит F_С=5 Гц.