Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Тема 2. Основные теоремы

Теорема. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

.

В частности .

Доказательство рассмотрим на примере суммы 2-х событий и .

Пусть - общее число возможных исходов некоторого испытания; - число исходов, благоприятствующих событию ; - число исходов, благоприятствующих событию . Тогда - число исходов, благоприятствующих наступлению либо события , либо события , т.е. события .

Следовательно, .

Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Если А, В,…, К образуют полную группу, то .

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице

или .

Пример 2.1. В ящике 30 шаров: 10 красных, 5 синих, 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение. Пусть событие С = {появление цветного шара}. Появление цветного шара означает появление либо красного шара (событие), либо синего шара (событие ). , . Т.к. события и несовместные, то

.

Пример 2.2. Вероятность того, что день будет пасмурным равна . Найти вероятность того, что день будет ясным.

Решение. События день дождливый () и день ясный () – противоположные. Следовательно, , .