2014-02-09
2167
Определение. Условной вероятностью события 
называют вероятность события , вычисленную в предположении, что событие 
уже наступило.
Обозначают 
или 
.
Пример 2.3. В ящике 5 деталей: 3 стандартные и 2 бракованные. Дважды из него извлекается по одной детали без возврата. Найти условные вероятности извлечения во второй раз стандартной детали.
Решение. Обозначим через событие = {извлечение стандартной детали во второй раз}. 
зависит от того, какую деталь вытащили в первый раз. Пусть событие = {в первый раз извлекли стандартную деталь}, событие 
= {в первый раз извлекли бракованную деталь}. Тогда условные вероятности равны
, 
.
Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения событий и равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло
или 
.
Доказательство. Пусть количество исходов некоторого испытания равно 
. Из них событию благоприятствует 
случаев, из которых событию благоприятствует 
случаев. Отсюда 
, 
.
|
|
|
Произведению событий 
благоприятствуют случаев. Найдем вероятность этого события
.
Пример 2.4. Среди 25 электролампочек 4 нестандартные. Найти вероятность того, что взятые 2 лампочки окажутся нестандартными.
Решение. 1 способ. Пусть событие А = {взяты две нестандартные лампочки}. Выбрать 2 лампочки из имеющихся 25 можно 
способами, а 2 нестандартные лампочки из 4 имеющихся 
способами. Отсюда 
; 
; 
.
Т.о. 
.
2 способ. Пусть событие= {первая взятая лампочка нестандартная}, событие = {вторая взятая лампочка нестандартная}. Найдем вероятности этих событий:
, 
. Согласно теореме умножения 
.
Теорема умножения принимает более простой вид, когда события, образующие произведение, независимы.
Определение. Событие называется независимым от события , если его вероятность не меняется от того, произошло событие или нет, т.е. 
.
В противном случае события и называются зависимыми.
Теорема умножения вероятностей для независимых событий имеет вид
.
Пример 2.5. Вероятность попадания в цель для I-го стрелка равна 0,8, для II-го – 0,7, для III-го – 0,9. Каждый из стрелков делает по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишени 3 попадания.
Решение. Обозначим через события А 1 = {первый стрелок попал}, А 2 = {второй стрелок попал}, А 3 = {третий стрелок попал}. Т.к. события А 1, А 2, А 3 независимые, то можно использовать теорему умножения вероятностей для независимых событий
.
