Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами

z⁽ⁿ⁾ + a₁×z^(n-1) + …+ a_n-1×z^' + a_n×z = 0 (*)

уравнение (*) - однородное линейное дифференциальное уравнение

a_i – постоянные числа (вещественные, комплексные)

Символическое (операционное) обозначение:

; (О.Хэвисайд)

Определение:

Пусть L(p) = а₀∙рⁿ + a₁×р^n-1 + …+ a_n-1×р + a_n

Произвольный многочлен относительно р с постоянными константами а_i, z -некая функция независимой переменной t'.

L(p)z - многочлен относительно z (не умножить на z)

L(p)z = z⁽ⁿ⁾ + a₁×z^(n-1) + …+ a_n-1×z^' + a_n×z

Если L(p) и H(p) – произвольные многочлены, то

Свойства А:

_- L(p)∙(z₁+z₂) = L(p)∙z₁+ L(p)∙z₂

_- (L(p) + H(p))∙z = L(p)∙z+ H(p)∙z

- L(p)(H(p)z) = L(p)∙Н(p)z Þ L(с,z) = с∙L(z), с = const

L(p)z = 0

L(p) = а₀∙рⁿ + a₁×р^n-1 + …+ a_n-1×р + a_n

Алгебраический многочлен (n-показатель степени)

Свойства В:

Пусть L(p) - произвольный многочлен относительно символа р

L(p)∙е ^lt = L(l)∙е ^lt (t - время, независимая переменная)

е ^lt – тогда и только тогда является решением уравнения L(p)z, когда число l есть корень многочлена L(p).

L(p)- характеристический многочлен

Предполагаем, что характеристическое уравнение не имеет кратных корней.