Теорема Рауса-Гурвица

Критерий Рауса-Гурвица.

Пусть Р =- произвольная квадратичная матрица порядка n

Назовем главными минором детерминант (определитель) матрицы:

Пусть L(p) = а₀∙р⁽ⁿ⁾ + a₁×р^(n-1) + …+ a_n-1×р + a_n - произвольный многочлен с действительными (вещественными) коэффициентами

Q = - порядка n

Многочлен L(p) устойчив, когда все главные миноры положительные

k + j –отрицательные > n, то коэффициенты считаются = 0

§ Геометрический критерий устойчивости (Критерий Михайлова).

Допустим, есть однородное линейное уравнение:

a_o·y⁽ⁿ⁾ + a₁·y^(n-1) + … + a_n-1·y' + a_n·y = 0

введем характеристическое уравнение:

¦ (p) = a_o·pⁿ + a₁·p^n-1 + … + a_n-1·p + a_n = 0

вместо р введем р = i·w, i =

¦ (p) = ¦ (i·w) = u(w) + i·v(w), где

u(w) = a_n – a_n-2·w² + a_n-n·wⁿ – …

(*)

v(w) = a_n-1·w – a_n-3·w³ – a_n-5·w⁵ – …

¦ (i·w) при заданных значениях w и (*) можно изобразить на комплексной плоскости:

годограф Михайлова - ¥ < w < +¥

По виду годографа Михайлова можно судить об устойчивости системы.

Обозначим корни многочлена ¦ (p) через р₁, р₂,…, р_n. Тогда можно записать:

¦ (p) = a_o·(р – р₁)·(р – р₂)·…·(р – р₂)

Тогда ¦ (p) = ¦ (i·w) = a_o·(i·w – р₁)·(i·w – р₂)·…·(i·w – р₂)

Комплексная плоскость корней:

S = a + i·w - вещественная часть

Подсчитаем угол j, на который повернется вектор ¦ (i·w) при изменении - ¥ < w < +¥.

При перемножении комплексных чисел их аргументы складываются, т.е. j = j₁ + j₂ +…+ j_n

¦ (p) - многочлен с m корней с положительными вещественными частями

n – m корней слева от мнимой оси

j = (n – m)·p + m·(-p) = (n-2m)p

Замечание: u(w) – четная функция, т.е. можно изучать поведение корней только 0 ≤ w < +¥,

а - ¥ < w ≤ 0 – зеркальное отражение.

Тогда j = (n – 2·m)· при 0 ≤ w < +¥,

a_o·y⁽ⁿ⁾ + a₁·y^(n-1) + … + a_n-1·y' + a_n·y = 0

Чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения ¦ (p) = ¦ (i·w) = 0 имели отрицательные вещественные части. Т.е. для устойчивой системы m = 0.