2014-02-09
691
F(x2(n),x2(n-1), …, 
, x2; x1(m), …,
,x1; f(q), …,
, f) = 0
Если эта функция – нелинейная, она описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, и звено – нелинейное.
Если уравнение линейное – звено нелинейное.
Производим линеаризацию нелинейного уравнения, т.е. разложим функцию в ряд Тейлора.
Линеаризация производится относительно некоторого режима.
Режим должен быть установившимся, т.е. x1 = x10; x2 = x20; f1 = f10 - постоянные величины, следовательно их производные равны 0: F(0, x20; 0, x10;0, f10)
Пусть F(, x2;,x1; f) = 0 (**)
1. Все координаты рассматриваются как x1 = x10 + ∆ x1; x2 = x20 + ∆ x2; f = f10 + ∆ f1
2. Левая часть уравнения раскладывается в ряд Тейлора:
F( 0, x20; x10;, f10) + 
- малые отклонения
- линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами – результат линеаризации.
x1 = x10;
x2 = x20;
= 
; - координаты точки, относительно которой идет расположение
f1 = f10
Обозначим: Со = 
; С1 = 
; Bo = - 
; ro = -
Вводим символический оператор дифференцирования:
р = 
(…); рxk = 
(…); 
, k = 1,2,…
(Co·p + C1)· ∆ x2 = Bo·∆ x1 + ro·∆ f
Обозначим: С(р) = Со·р + C1
B(p) = Bo
r(p) = ro
Получим уравнение 1-го порядка: С(р)· ∆ x2 = B(p) ·∆ x1 + r(p) ·∆ f
(Co·p + C1)· ∆ x2 = Bo·∆ x1 + ro·∆ f; пусть С1 ≠ 0, тогда введем Т = 
; К = 
; Кf = 
;
Тогда получим: (T·p + 1)· ∆ x2 = K·∆ x1 + Kf··∆f
[ p ] = 
; [ T ] = сек; [ К ] = 
; [ Кf ] = 
;
T – постоянная времени;
K – коэффициент по входной величине;
Kf – коэффициент по возмущению.
Линеаризируем F(
,, x2; ,x1;,f) = 0
С(р) = Со·р2 + С1·р+ C2;
B(p) = Bo·р + B1 ;
r(p) = ro·р + r1;
где Со = 
; С1 = 
; С2 = 
; Bo = - 
;
B1 = - 
; ro = -
; r1 = -
