Линеаризация нелинейных уравнений динамических звеньев

F(x₂⁽ⁿ⁾,x₂^(n-1), …, , x₂; x₁^(m), …,,x₁; f^(q), …,, f) = 0

Если эта функция – нелинейная, она описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, и звено – нелинейное.

Если уравнение линейное – звено нелинейное.

Производим линеаризацию нелинейного уравнения, т.е. разложим функцию в ряд Тейлора.

Линеаризация производится относительно некоторого режима.

Режим должен быть установившимся, т.е. x₁ = x₁₀; x₂ = x₂₀; f₁ = f₁₀ - постоянные величины, следовательно их производные равны 0: F(0, x₂₀; 0, x₁₀;0, f₁₀)

Пусть F(, x₂;,x₁; f) = 0 (**)

1. Все координаты рассматриваются как x₁ = x₁₀ + ∆ x₁; x₂ = x₂₀ + ∆ x₂; f = f₁₀ + ∆ f₁

2. Левая часть уравнения раскладывается в ряд Тейлора:

F( 0, x₂₀; x₁₀;, f₁₀) +

- малые отклонения

- линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами – результат линеаризации.

x₁ = x₁₀;

x₂ = x₂₀;

= ; - координаты точки, относительно которой идет расположение

f₁ = f₁₀

Обозначим: С_о = ; С₁ = ; B_o = - ; r_o = -

Вводим символический оператор дифференцирования:

р = (…); р_x^k = (…); , k = 1,2,…

(C_o·p + C₁)· ∆ x₂ = B_o·∆ x₁ + r_o·∆ f

Обозначим: С(р) = С_о·р + C₁

B(p) = B_o

r(p) = r_o

Получим уравнение 1-го порядка: С(р)· ∆ x₂ = B(p) ·∆ x₁ + r(p) ·∆ f

(C_o·p + C₁)· ∆ x₂ = B_o·∆ x₁ + r_o·∆ f; пусть С₁ ≠ 0, тогда введем Т = ; К = ; К_f = ;

Тогда получим: (T·p + 1)· ∆ x₂ = K·∆ x₁ + K_f··∆f

[ p ] = ; [ T ] = сек; [ К ] = ; [ К_f ] = ;

T – постоянная времени;

K – коэффициент по входной величине;

K_f – коэффициент по возмущению.

Линеаризируем F(,, x₂; ,x₁;,f) = 0

С(р) = С_о·р² + С₁·р+ C₂;

B(p) = B_o·р + B₁ ;

r(p) = r_o·р + r₁;

где С_о = ; С₁ = ; С₂ = ; B_o = - ;

B₁ = - ; r_o = -; r₁ = -