Устойчивость многочленов

Пусть L(p)z = 0

Линейный дифференциальный оператор (однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами)

Многочлен называется устойчивым, если все его корни имеют отрицательные вещественные части.

Геометрически: все корни должны лежать слева от мнимой оси в плоскости корней характеристического уравнения

Плоскость корней

Пусть l_j = m_j + in_j – корни многочлена L(p) = 0

j = 1,2…m

i = -мнимая единица

Найдется такое положительное число a > 0

m_j < - a; j = 1, 2… m

Если это справедливо, то найдется такое положительное число H > 0

, t³0

решение®0

Если хотя бы один из корней уравнения L(p) = 0 имеет положительную вещественную часть, то е^lt® ¥, то система неустойчивая (t ® ¥).

Задача: найти условие, при котором система устойчива

· L(p) = p² + a∙p+b – 2- ой степени

многочлен устойчив при a > 0

b > 0

многочлен должен быть положительными

· Если многочлен L(p) = а₀∙р⁽ⁿ⁾ + a₁×р^(n-1) + …+ a_n-1×р + a_n с действительными коэффициентами устойчив, то все его коэффициенты положительные.(Теорема А.Стодола)

(Обратная формулировка не всегда верная)

Пример: z³ + z² + 4z + 30 = 0; корни -3, 1 ± 3i

· L(p) = а₀∙р⁽ⁿ⁾ + a₁×р^(n-1)+ a₂×р + a₃, в которым а₀ >0 с действительного коэффициентами устойчив, когда а₀ , а₁ , а₂ , а₃ >0

а₁∙ а₂> а₀∙ а₃