Элементы и звенья систем автоматического регулирования

Комплексного параметра

Построение области устойчивости в пространстве одного

Построение областей устойчивости

Совокупность коэффициентов a₁, a₂, …, а_n - это точка n – мерного пространства R_n, у которого множество значений коэффициентов. Каждой точке пространства соответствует множество корней.

Область, существующая в пространстве R_n,в каждой точке которой есть одинаковое число корней, лежащих слева от мнимой оси, называется гиперповерхностью.

Положим, что а_о и а_n определены; в плоскости корней р мы имеем k корней, которые лежат

слева от мнимой оси; (n – k) – справа.

На плоскости А всегда существует кривая, которая ограничивает такую область, в каждой точке которой определяет многочлен, имеющий k корней слева и (n – k) – справа:

D(k,n-k), где k – целое 0 ≤ k < n

В пространстве корней ей соответствует множество корней при фиксированном значении коэффициентов.

Например: D(0,3), D(1,2), D(3,0)

D - разбиением назовем разбиение пространства коэффициентов характеристического уравнения на области, соответствующие одному количеству корней, расположенных слева от мнимой оси.

Пусть k корней полинома лежат слева от мнимой оси. Непрерывно будем менять коэффициент в уравнении. Получатся новые уравнения, и корни этих уравнений будут непрерывно переходить мнимую ось. Переход только через мнимую ось в плоскости корней (но только при а_о®0, а_о=0 не рассматриваем).

Мнимая ось – это результат отображения границы D – разбиения на плоскость корней. Граница D – разбиения и мнимая ось связаны между собой отображением.

l - параметр переменной

Характеристическое уравнение:

Q(p) + l×R(p) = 0

l = – Q(p)/R(p)

Например: р² + а₁×р + а₂ = 0; пусть l = а₂, тогда Q(p)= р² + а₂, R(p)= а₁×р

Практически, мы рассматриваем l как вещественный параметр, но вообще l - комплексный.

l(i×w) = – Q(i×w)/R(i×w)= u(w) + v(w), w = var, тогда - ¥ < w < +¥.

1) D(k+2,n-k-2); 2) D(k,n-k); 3) D(k+2,n-k-2)

Процедура решения:

1) разрешить характеристическое уравнение относительно l (l = – Q(p)/R(p))

2) заменить р= i×w

l = u(w) + v(w)

3) построить в осях (u,v) кривую, задавая - ¥ < w < +¥.

II. Динамические характеристики линейной модели звеньев

Функциональная схема:

- элемент или звено системы

Незамкнутая система (схема регулирования по возмущению):

Замкнутая система (схема с обратной связью; схема регулирования по ошибке):

Звено динамическое – это элемент системы управления, которое описывается уравнением определенного типа (может быть дифференциальное уравнение)

х₁ – координата входа; х₂ – координата выхода

f – возмущение

Все величины – функции времени: х₁(t), х₂(t), f(t)

Свойство однонаправленности:

Статическая характеристика динамического звена – это зависимость выходной величины от входной величины, определенная в установившемся режиме.

х₂(t) = х₂(х₁(t))

Эти характеристики можно получить экспериментально, аналитически, математическая модель.

Аналитическая модель может быть представлена в виде:

- графика,

- таблицы,

- аналитического выражения, закона.

Описание характеристики звена может иметь:

- явный вид: х₂(t) = х₂(х; f; t);

- неявный вид: f(х₂, х₁) = 0;

- параметрический вид: х₁ = х₁(a); х₂ = х₂(a)

Линейность статическая характеристика не означает линейность поведения системы. Статическая характеристика линеаризуется при исследовании динамически.

Процедура составления модельного дифференциального уравнения:

1) определить х₁, х₂ и дополнительных факторов;

2) задать начало отсчета и положительное напряжение оси координат;

3) введение возможных (допустимых) упрощений;

4) применяются известные законы сохранения массы, энергии и пр.;

5) сосредоточение параметров: масса точечная.

Математическое описание поведения системы:

F(x₂⁽ⁿ⁾,x₂^(n-1), …, , x₂; x₁^(m), …,,x₁; f^(q), …,, f) = 0