Усеченное нормальное распределение

Классическое нормальное распределение

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАРАБОТКИ ДО ОТКАЗА

Лекция 6

Нормальное распределение или распределение Гаусса является наиболее универсальным, удобным и широко применяемым.

Считается, что наработка подчинена нормальному распределению (нормально распределена), если плотность распределения отказов (ПРО) описывается выражением:

(6.1)

где a и b – параметры распределения, соответственно, МО (математическое ожидание) и СКО (среднее квадратичное отклонение), которые по результатам испытаний принимаются:

;

где , – оценки средней наработки и дисперсии.

Графики изменения показателей безотказности при нормальном распределении приведены на рис. 6.1.

Выясним смысл параметров Т₀ и S нормального распределения. Из графика f(t) видно, что Т₀ является центром симметрии распределения, поскольку при изменении знака разности (t – Т₀) выражение (1) не меняется. При t = Т₀ ПРО достигает своего максимума

(6.2)

При сдвиге Т₀ влево/вправо по оси абсцисс, кривая f(t) смещается в ту же сторону, не изменяя своей формы. Таким образом, Т₀ является центром рассеивания случайной величины Т, т. е. МО.

Параметр S характеризует форму кривой f(t), т. е. рассеивание случайной величины T. Кривая ПРО f(t) тем выше и острее, чем меньше S.

Рис. 6.1. График изменения показателей безотказности при нормальном распределении.

Изменение графиков P(t) и λ(t) при различных СКО наработок (S₁ < S₂ < S₃) и Т₀= const приведено на рис. 6.2.

Рис. 6.2. График ВБР и ИО при различных СКО наработок S и Т₀ = const.

Используя полученные ранее (лекции 3, 4) соотношения между показателями надежности, можно было бы записать выражения для P(t); Q(t) и λ(t) по известному выражению (1) для f(t). Не надо обладать богатой фантазией, чтобы представить громоздкость этих интегральных выражений, поэтому для практического расчета показателей надежности вычисление интегралов заменим использованием таблиц.

С этой целью перейдем от случайной величины Т к некоей случайной величине

(6.3)

распределенной нормально с параметрами, соответственно, МО и СКО M{X} = 0 и S{X} = 1 и плотностью распределения

(6.4)

Выражение (6.4) описывает плотность так называемого нормированного нормального распределения (рис. 6.3).

Рис. 6.3. График изменения нормированного нормального распределения.

Функция распределения случайной величины X запишется

(6.5)

а из симметрии кривой f(t) относительно МО M{X} = 0, следует, что f(-x) = f(x), откуда F(-x) = 1 – F(x).

В справочной литературе приведены расчетные значения функций f(t) и F(x) для различных x = (t – Т₀)/S.

Показатели безотказности объекта через табличные значения f(x) и F(x) определяются по выражениям:

;	(6.6)
;	(6.7)
;	(6.8)
.	(6.9)

В практических расчетах часто вместо функции F(x) пользуются функцией Лапласа, представляющей распределение положительных значений случайной величины X в виде:

(6.10)

Очевидно, что F(x) связана с Ф(x) следующим образом:

(6.11)

Как и всякая функция распределения, функция Ф(x) обладает свойствами:

;
;
.

В литературе могут встретиться и другие выражения для Ф(x), поэтому, какой записью Ф(x) пользоваться – это дело вкуса.

Показатели надежности объекта можно определить через Ф(x), используя выражения (6.6 ÷ 6.9) и (6.11):

;	(6.12)
;	(6.13)
.	(6.14)

Чаще всего при оценке надежности объекта приходится решать прямую задачу – при заданных параметрах Т₀ и S нормально распределенной наработки до отказа определяется тот или иной показатель безотказности (например, ВБР) к интересующему значению наработки t.

Но в ходе проектных работ приходится решать и обратную задачу – определение наработки, требуемой по техническому заданию, ВБР объекта.

Для решения подобных задач используют квантили нормированного нормального распределения.

Квантиль – значение случайной величины, соответствующее заданной вероятности.

Обозначим:

t_p – значение наработки, соответствующее ВБР P;

x_p – значение случайной величины X, соответствующее вероятности P.

Тогда из уравнения связи x и t:

при x = x_p; t = t_p, получаем

t_p, x_p – ненормированные и нормированные квантили нормального распределения, соответствующие вероятности P.

Значения квантилей xp приводятся в справочной литературе для P ≥0,5.

При заданной вероятности P < 0,5 используется соотношение

Например, при P = 0,3

Вероятность попадания случайной величины наработки T в заданный интервал [ t₁, t₂ ] наработки определяется:

(6.15)

где x₁ = (t₁ – Т₀)/S, x₂ = (t₂ – Т₀)/S.

Отметим, что наработка до отказа всегда положительна, а кривая ПРО f(t), в общем случае, начинается от t = - ∞ и распространяется до t = ∞.

Это не является существенным недостатком, если Т₀>> S, поскольку по (6.15) нетрудно подсчитать, что вероятность попадания случайной величины Т в интервал P{Т₀– 3 S < T < Т₀+ 3S} ≈ 1,0 с точностью до 1%. А это означает, что все возможные значения (с погрешностью не выше 1%) нормально распределенной случайной величины с соотношением характеристик Т₀ > 3S, находятся на участке Т₀ ± 3S.

При большем разбросе значений случайной величины T область возможных значений ограничивается слева (0, ∞) и используется усеченное нормальное распределение.

Известно, что корректность использования классического нормального распределения наработки, достигается при Т₀ ≥ 3S.

При малых значениях Т₀ и большом S, может возникать ситуация, когда ПРО f(t) «покрывает» своей левой ветвью область отрицательных наработок (рис. 6.4).

Таким образом, нормальное распределение являясь общим случаем распределения случайной величины в диапазоне (- ∞; ∞), лишь в частности (при определенных условиях) может быть использовано для моделей надежности.

Усеченным нормальным распределением называется распределение, получаемое из классического нормального, при ограничении интервала возможных значений наработки до отказа.

Рис. 6.4. График изменения плотности распределения отказов при малых значениях Т₀ и больших S.

В общем случае усечение может быть:

- левым – (0; ∞);

- двусторонним – (t₁, t₂).

Смысл усеченного нормального распределения (УНР) рассмотрен для случая ограничения случайной величины наработки интервалом (t₁, t₂).

Плотность УНР

где

;

c – нормирующий множитель, определяемый из условия, что площадь под кривой равна 1, т. е.

Откуда

где

Применяя переход от случайной величины Т = {t} к величине X = {x}:

x₁ = (t₁ – Т₀)/S, x₂ = (t₂ – Т₀)/S

получается

поэтому нормирующий множитель c равен:

Поскольку [ Ф(x)(x₂) – Ф(x)(x₁) ] < 1, то c > 1, поэтому . Кривая выше, чем , т. к. площади под кривыми и одинаковы и равны 1 (рис. 6.5).

Рис. 6.5. График плотности УНР и ПРО.

(с погрешностью ≤ 1%

Показатели безотказности для УНР в диапазоне (t₁, t₂):

;
;
;
.

УНР для положительной наработки до отказа – диапазон (0; ∞) имеет ПРО

где c₀ – нормирующий множитель определяется из условия:

и равен (аналогично предыдущему):

Показатели безотказности УНР (0; ∞)

;
;
;
,

Изменение нормирующего множителя c₀ в зависимости от отношения Т₀ / S приведено на рис. 6.6.

Рис. 6.6. График изменения нормирующего множителя c₀ в зависимости от отношения Т₀/S.

При Т₀= S, Т₀ / S = 1c₀ = max (≈ 1,2).

При Т₀ / S ≥ 2,5c₀ = 1,0, т.е. .

Контрольные вопросы и задачи:

1. Объясните почему распределение Гаусса называется нормальным?

2. Поясните на изменении кривой плотности распределения отказов влияние параметров распределения: матожидания и дисперсии?

3. Приведите расчетные выражения для показателей безотказности, определенные через табличные функции: f(x), F(x) и Ф(x)?

4. При каких условиях корректно использовать классическое нормальное распределение, и в каких случаях целесообразно применять усеченные нормальные распределения?

5. Приведите расчетные выражения показателей безотказности для усеченного «слева» нормального распределения?

6. Наработка до отказа серийно выпускаемой детали распределена нормально с параметрами: Т₀ = M(T) = 104 час, S = S (T) = 250 час. Определить:

1) вероятность того, что при монтаже прибора в него будут поставлены детали, наработка до отказа которых будет находиться в интервале [ 5000, 9000 час ];

2) вероятность того, что при монтаже прибора в него будут поставлены детали, наработка до отказа которых будет находиться в интервале [ Т₀ - 3S, Т₀ + 3S ];

3) вероятность того, что безотказно проработав до момента времени 5000 час, деталь безотказно проработает и до 9000 час?

7. Комплектующая деталь, используемая при изготовлении устройства, по данным поставщика этой детали имеет нормальное распределение наработки с параметрами – Т₀ = 4 · 103 час, S = 800 час. Определить интересующую конструктора прибора:

1) наработку до отказа, соответствующую 90% надежности детали;

2) вероятность того, что при монтаже деталь имеет наработку, лежащую в интервале [ 2.5 · 103, 3 · 103 ];

3) вероятность того, что при монтаже деталь имеет наработку, большую, чем 2,5 103 час?