Распределение Гаусса (нормальное распределение)

Наиболее известным и часто применяемым в теории вероятностей законом является нормальный закон распределения или закон Гаусса.

Главная особенность нормального закона распределения заключается в том, что он является предельным законом для других законов распределения.

Будем говорить, что непрерывная случайная величина Х, принимающая значения , подчиняется нормальному закону, если её плотность распределения (дифференциальная функция) имеет вид

.

Нетрудно видеть, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: и . Достаточно задать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение.

Заметим, что для нормального распределения интегральная функция имеет вид:

.

Покажем теперь, что вероятностный смысл параметров и  таков: а есть математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение (то есть ) нормального распределения:

а) по определению математического ожидания непрерывной случайной величины имеем

Действительно

,

так как под знаком интеграла стоит нечётная функция, и пределы интегрирования симметричны относительно начала координат;

- интеграл Пуассона.

Итак, математическое ожидание нормального распределения равно параметру а.

б) по определению дисперсии непрерывной случайной величины и, учитывая, что , можем записать

.

Интегрируя по частям, положив , найдём

Следовательно .

Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру .

В случае если и нормальное распределение называют нормированным (или, стандартным нормальным) распределением. Тогда, очевидно, нормированная плотность (дифференциальная) и нормированная интегральная функция распределения запишутся соответственно в виде:

(Функция , как вам известно, называется функцией Лапласа (см. ЛЕКЦИЮ5) или интегралом вероятностей. Обе функции, то есть , табулированы и их значения записаны в соответствующих таблицах).

Свойства нормального распределения (свойства нормальной кривой):

1. Очевидно, функция  на всей числовой прямой.

2. , то есть нормальная кривая расположена над осью Ох.

3. , то есть ось Ох служит горизонтальной асимптотой графика.

4. Нормальная кривая симметрично относительно прямой х = а (соответственно график функции  симметричен относительно оси Оу).

Следовательно, можем записать: .

5. .

6. Легко показать, что точки и являются точками перегиба нормальной кривой (доказать самостоятельно).

7. Очевидно, что

но, так как , то . Кроме того , следовательно, все нечётные моменты равны нулю.

Для чётных же моментов можем записать:

8. .

9. .

10. , где .

11. При отрицательных значениях случайной величины: , где .

12. .

13. Вероятность попадания случайной величины на участок, симметричный относительно центра распределения, равна:

ПРИМЕР 3. Показать, что нормально распределённая случайная величина Х отклоняется от математического ожидания М (Х) не более чем на .

Решение. Для нормального распределения: .

Далее, запишем:

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0, 0027. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события, исходя из принципа невозможности маловероятных событий, можно считать практически невозможными.

Итак, событие с вероятностью 0,9973 можно считать практически достоверным, то есть случайная величина отклоняется от математического ожидания не более чем на .

ПРИМЕР 4. Зная характеристики нормального распределения случайной величины Х – предела прочности стали: кг/мм² и кг/мм², найти вероятность получения стали с пределом прочности от 31 кг/мм² до 35 кг/мм².

Решение.

.

3. Показательное распределение (экспоненциальный закон распределения)

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается дифференциальной функцией (плотность распределения)

где  - постоянная положительная величина.

Показательное распределение определяется одним параметром . Эта особенность показательного распределения указывает на его преимущество, по сравнению с распределениями, зависящими от большего числа параметров. Обычно параметры неизвестны и приходится находить их оценки (приближённые значения); разумеется, проще оценить один параметр, чем два, или три и т.д.

Нетрудно записать интегральную функцию показательного распределения:

Мы определили показательное распределение при помощи дифференциальной функции; ясно, что его можно определить, пользуясь интегральной функцией.

Замечание: Рассмотрим непрерывную случайную величину Т – длительность времени безотказной работы изделия. Обозначим принимаемые её значения через t, . Интегральная функция распределения  определяет вероятность отказа изделия за время длительностью t. Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время, длительностью t, то есть вероятность противоположного события , равна

.

Функцией надёжности  называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы изделия (элемента) за время длительностью t. Если длительность времени безотказной работы изделия (элемента) имеет показательное распределение, то функция надёжности, в этом случае, запишется в виде

.

Таким образом, показательным законом надёжности называют функцию надёжности, определяемую последним равенством, где  - интенсивность отказов.

Свойства показательного распределения:

1. Математическое ожидание показательного распределения равно обратной величине параметра , то есть .

Действительно

.

2. , следовательно .

Таким образом, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.

3. .

4. .

5. .

ПРИМЕР 4. Пусть время, необходимое для ремонта станков, распределено по показательному (экспоненциальному) закону с параметром . Определить вероятность того, что время ремонта одного станка меньше 6-и часов. Найти среднее время ремонта одного станка.

Решение. Т – время ремонта станка .

Тогда можем записать:

.

Далее, так как среднее время ремонта – это М (Т), то

(часа).