Последовательность случайных величин Х 1, Х 2, …, Хn,… сходится по вероятности к случайной величине X, если для любого e >0
или .
Символически сходимость по вероятности: Xn X или Xn X.
1) Неравенство Маркова (для оценки вероятности неотрицательных СВ).
Если X³0, "e >0 и неизвестен закон распределения: то
, или .
2) Неравенство Чебышева. Если СВ X имеет MX, DX – конечные и "e >0:
и .
3) Теорема Чебышева. Если Х1, Х2, …, Хn – последовательность попарно независимых СВ, MX, C – const, D(X1)≤C, D(X2)≤C, …, D(Xn)≤C,…,
, или "e >0,
.
или
.
при n ®¥ мало отличается от среднего арифметического их математических ожиданий M (X 1), M (X 2), …, M (Xn), т.е. обладает свойством статистической устойчивости.
Для одинаково распределенных случайных величин с конечной дисперсией D и M (xi) =m: .
4) Теорема Бернулли ( частный случай теоремы Чебышева для независимых повторных испытаний).
Пусть вероятность успеха P(A)=p, m - число успешных испытаний из n, " e > 0:
, или
.
или т.е. относительная частота числа успехов m в n испытаниях Бернулли обладает свойством статистической устойчивости.
|
|
Оценим .
Т.к. , то . Если , то:
.
Т.к. Ф (- x) = - Ф (x), то
.
Задача. «Опыт Бюффона» (X VIII век).
Найти вероятность того, что при повторении опыта Бюффона, относительная частота появления герба отклонится от вероятности по модулю не более чем в опыте Бюффона.
Решение: 1)=, где , , а теоретическая вероятность p= 1 / 2. Оценим
или
.
Опыты | Число испытаний | Относительная частота | Отклонение относительной частоты от вероятности |
Опыт Бюффона | 0,5069 | 0,0069 | |
Первый опыт Пирсона | 0,5016 | 0,0016 | |
Второй опыт Пирсона | 0,5005 | 0,0005 |
Вывод: статистическая устойчивость частот – уникальное свойство случайных событий.