Распределения, связанные с нормальными

1. Распределение c ² (распределение К. Пирсона)

Независимые СВ X ₁, X ₂, …, X_k – стандартные нормально распределенные, т.е.

X_i Î N (0, 1), где i =1, 2, … k.

Распределение

называется распределением «хи-квадрат» с k степенями свободы, а сама величина c ²(k)³0 – величина «хи-квадрат с k степенями свободы».

Если СВ X ₁, X ₂, …, X_k не являются независимыми (т.е. между ними существует l ³1 функционально независимыхуравнений связи), то число независимых СВ равно разности k - l между числом суммируемых случайных величин и числом связей, ограничивавших свободу изменения этих величин.

Если все уравнения связи линейны, то СВ распределена по c ², с k - l степенями свободы.

Графики плотности вероятности для разных значений k:

Свойства распределения :

1) c ²(k)³0;

2) M (c ²(k))= k;

3) D (c ²(k))=2 k;

4) Mo (c ²(k))= k -2;

При k> 30 распределение СВ Z = N (0,1) (стандартное нормальное распределение).

2. Распределение Стъюдента

Пусть Z и V независимые СВ, где Z Î N (0,1), а V Î[ c ²(k)].

Тогда распределение СВ – есть t -распределение Стъюдента с k степенями свободы:

Свойства распределения Стьюдента:

1) М (T_k)= Мо (T_k) =Ме (T_k)=0;

2) D (T_k)=и существует только при k >2.

Значения c ²-распределения и t -распределения (Стъюдента), зависящие лишь от степени свободы, затабулированы.

3. Распределение Фишера-Снедекора (или F -распределение)

Распределение Фишера-Снедекора – распределение СВ:

,

где – случайные величины, имеющие -распределение соответственно с k ₁ и k ₂ степенями свободы.

Свойства F–распределения:

1) M (F (k ₁, k ₂))=(существует при k ₂>2);

2) Mо (F (k ₁, k ₂))=(существует при k ₂>1);

3) D (F (k ₁, k ₂))=.