Числовые характеристики случайной величины: моменты

Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание для случайной величины :

n_k=M (X^k), где k Î R.

При k =1 имеем первый начальный момент n ₁ =MX=m, который, как известно, есть математическое ожидание случайной величины X.

Отклонение для случайной величины X от своего математического ожидания X – MX называется центрированной случайной величиной X.

Центрирование случайной величины – перенос начала координат в среднюю точку – центр распределения.

Центральным моментом порядка k для случайной величины X есть математическое ожидание степени k соответствующей центрированной случайной величины X:

, где k Î R

Зависимость между начальным и центральным моментом порядка s выражается формулами:

и т.д.

Первые четыре центральных момента:

1) – есть математическое ожидание центрированной случайной величины X или первыйцентральный момент;

2) – дисперсия случайной величины X или второй центральный момент;

3) – третий центральный момент;

4) – четвертый центральный момент.

Зависимость моментов от характера распределения СВ

Виды моментов	Виды распределений
ДСВ	НСВ
Начальный момент порядка k
Центральный момент порядка k

Первый начальный момент – «центр распределения».

M(X) – первый начальный момент – это средняя точка распределения.

D(X) – второй центральный момент –разброс вокру г M(X).

Асимметрия распределения: .

Если, распределение симметрично относительно своего центра, то A =0.

Эксцесс –«плосковершинность» распределения: .

Для нормального распределения ® E =0. Для распределений, близких к нормальному, E ≠0 показывает степень различия между имеющимся распределением и нормальным. Если ,токривая распределений имеет более вершину.

Значения асимметрии и эксцесса для различных распределений:

Вид распределения	Асимметрия	Эксцесс
Нормальное X ~N(m, s)	A =0	E =0
Равномерное X ~U(a, b)	A =0	E = -1.2
Показательное X ~E(l)	A =2	E =6
Биномиальное X ~Bi(n, p)
Геометрическое X ~G(p)	A =	E=
Пуассона X ~П(l)