Интеграл Римана на -мерном промежутке

Опр.: называется промежутком в , если:

Опр.: Промежутку ставится в соответствие число , которое называется мерой промежутка.

Лемма:

Мера промежутка удовлетворяет следующим свойствам:

1) она однородна:

2) адитивность:

3)

4)

Разбиение промежутка

Опр.:

Прямое произведение разбиения сторон индуцирует разбиение всего промежутка.

Опр.: Отмеченные точки

- разбиение промежутка

Для каждого промежутка выбираем отмеченную точку

Опр.: Мелкость разбиения – число

Опр.: Разбиение с отмеченными точками:

Интегральная сумма.

Опр.:

Пусть на интервале задана функция , тогда сумма носит название «интегральная сумма».

Опр.: -мерный интеграл Римана:

Если этот предел существует, тогда функция называется интегрируемой по Риману на -мерном промежутке .

Класс функций, интегрируемых по Риману на промежутке , обозначается .

Кратный интеграл.