Нахождение промежутков возрастания и убывания функции, точек экстремума

Промежутки возрастания и убывания являются решениями неравенств и соответственно.

Определение 8. Точки, в которых производная обращается в ноль, называют стационарными.

Определение 9. Критическими точками функции называют внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции:

1) находим производную;

2) находим критические точки;

3) разбиваем область определения критическими точками на интервалы;

4) определяем знак производной на каждом из промежутков. Знак «плюс» будет соответствовать промежутку возрастания, знак «минус» - промежутку убывания.

Определение 10. Точками экстремума функции являются точки, в которых функция определена, и, проходя через которые, производная меняет знак.

Находим производную на области определения: , следовательно, над первым слева интервалом ставим «+». Схематично плюсами/минусами отмечены промежутки где производная положительна/отрицательна. Возрастающие/убывающие стрелочки показывают направление возрастания/убывания. Делаем вывод: - функция возрастает на промежутке и на промежутке ; - функция убывает на промежутке и на промежутке . В нашем примере точкой экстремума является точка х=0. Значение функции в этой точке равно . Так как производная меняет знак с «+» на «-» при прохождении через точку х=0, то (0; 0) является точкой локального максимума (если бы производная меняла знак с «-» на «+», то мы имели бы точку локального минимума).