Криволинейные и поверхностные интегралы

Опр.:

-форма

- сужение формы на

Опр.:

- гладкая ориентированная поверхность

- её локальная карта

- -форма на

-диффеоморфизм

- касательные векторы,

Утв.:

Опр.:

- Интеграл от дифференциальной формы по ориентированной поверхности размерности .

Опр.:

а)

б) задана картой

«+» - когда ориентация поверхности согласована с ориентацией, задаваемой параметризацией , иначе «-».

в) Когда - кусочно-гладкая . Поверхность , после удаления из неё поверхностей размерности не выше, чем , состоит из гладких поверхностей со взаимно согласованной ориентацией.

Пример: Если из куба удалить рёбра и вершины, то останутся шесть гладких поверхностей.

Утв.: Вышеприведённое определение не зависит от параметризации.

Док-во:

а)

б)

в) Корректность определения вытекает из свойств аддитивности кратного интеграла.