Координатная запись дифференциальной формы

Утв.:

Если: - простейшая дифференциальная форма

То:

координатная запись простейшей - формы.

Координатная запись кососимметрической формы.

Утв.:

Если: - кососимметрическая форма,

То:

Координатная запись дифференциальной формы.

Утв.:

Если: -дифференциальная форма

То:

Т.о., произвольная дифференциальная -форма есть линейная комбинация простейших дифференциальных форм.

Пример:

Задача: посчитать значение на векторах .

Пример:

- векторное поле.

Строим параллелепипед на этих векторах. Ориентированный объём этого параллелепипеда – определитель из координат этих векторов. Разложив его по 1-й строке, получаем:

где обозначает отсутствие .

Форма потока:

-форма потока.

Если - скорость течения жидкости, протекающей через площадку, натянутую на векторы за единицу времени.

Дифференциал формы.

Опр.:

- пространство -форм гладкости

- пространство -форм гладкости .

Опр.:

Внешним дифференциалом называется линейный оператор , если:

1) если -функция (, функция – это 0-форма), то -обычный дифференциал функции.

2)

3)

Координатное представление внешнего дифференциала.

Утв.:

Если:

То:

Т.о. при дифференцировании формы нужно продифференцировать её коэффициенты.

Пример 1:

Пример 2: