Индивидуальные и общие индексы

Индивидуальные индексы в статистике применяются довольно часто. Они характеризуют изменение отдельных элементов статистической совокупности, по методике расчета являются обычными относительными величинами, образуются отношением двух простых абсолютных величин.

Общие индексы гораздо более сложные по методике расчета. Они применяются для сопоставления непосредственно несоизмеримых, разнородных показателей. Например, чтобы охарактеризовать изменение совокупного объема продукции обувной фабрики, нельзя просто сложить количество разных видов обуви, определить тем самым совокупный объем продукции в отчетном году и разделить его на такой же показатель прошлого года. Разнородные показатели, как известно, в натуральных единицах суммировать нельзя, так как разные виды обуви произведены с различными затратами времени, материальных ресурсов, имеют разные названия. Чтобы рассчитать общий индекс, характеризующий изменение совокупного объема продукции, надо сделать сопоставимыми разнородные виды продукции, переведя их количество в стоимость с помощью цен. Как видим, в расчете общего индекса участвует много абсолютных показателей: количество продукции каждого вида в натуральном измерении в отчетном периоде и в базисном периоде, цены на каждый вид продукции.

Показатели, которые подлежат изучению с помощью общего индекса, называются индексируемыми величинами, в данном примере это – объем продукции в натуральном измерении. Те же показатели, которые делают разнородные показатели сопоставимыми, называются соизмерителями (весами), в данном примере это цены.

Основной формой общих индексов являются агрегатные индексы. В агрегатном индексе значения индексируемой величины изменяются: в числителе показываются анализируемые значения, в знаменателе – базисные, с которыми осуществляется сравнение. А вот значения соизмерителей (весов) принимаются одинаковыми и в числителе, и в знаменателе. Это позволяет исключить влияние изменения веса на изменение изучаемого объекта.

Ниже рассмотрим методику расчета индексов, применяющихся в экономическом анализе наиболее часто.

Индивидуальный индекс физического объема продукции рассчитывается по формуле

i_q = q₁ / q₀ , (37)

где q₁ – объем продукции в натуральных единицах в отчетном периоде;

q₀ – то же в базисном периоде.

Агрегатный индекс физического объема продукции рассчитывается по формуле

где P₀ – цена единицы продукции каждого вида в базисном периоде.

Пример 27

Коммерческая организация производит три вида продукции. Проанализировать индексным методом динамику объема продаж. Исходные данные – в таблице 29.

Таблица 29 – Статистические данные объема продаж организации

Вид продукции	Объем продаж продукции, тыс. ед.	Цена единицы продукции, тыс. руб.
предыдущий год	отчетный год	предыдущий год	отчетный год
	q0	q1	P0	P1
А
Б
В

Решение:

1) Проанализируем изменение объема продаж продукции каждого вида, для чего рассчитаем индивидуальные индексы физического объема продукции по формуле (37):

продукция вида «А»: i_q = 149 /143 = 1,042 или 104,2%

продукция вида «Б»: i_q = 200 / 126 = 1,587 или 158,7%

продукция вида «В»: i_q = 85 / 90 = 0,944 или 94,4%

Объем продаж продукции «А» возрос по сравнению с предыдущим годом на 4,2%, продукции «Б» – более всего – на 58,7%, а продукции «В» снизился на 5,6%.

2) Проанализируем изменение объема продаж в целом в организации, для чего рассчитаем агрегатный индекс физического объема продукции по формуле (38):

В целом, общий объем продаж возрос на 10,7% по сравнению с предыдущим годом.

Индивидуальный индекс цен рассчитывается по формуле

i_P = P₁ / P₀, (39)

где P₁ – цена единицы продукции каждого вида в отчетном периоде.

Агрегатный индекс цен рассчитывается по формуле

Пример 28

На основании данных таблицы 29 проанализировать индексным методом динамику цен на продукцию организации.

Решение:

1) Проанализируем изменение цен на каждый вид продукции, для чего рассчитаем индивидуальные индексы цен по формуле (39):

продукция вида «А»: i_P = 12 / 11 = 1,091 или 109,1%

продукция вида «Б»: i_P = 10 / 7 = 1,429 или 142,9%

продукция вида «В»: i_P = 24 / 22 = 1,091 или 109,1%

2) Проанализируем изменение цен в совокупности на все виды продукции, рассчитаем агрегатный индекс цен по формуле (40):

Цены на продукцию «А» и «В» возросли в одинаковой степени – на 9,1%, а на продукцию «Б» – с наибольшей интенсивностью: на 42,9%. В совокупности по всем видам продукции цены возросли на 18,7%.

Агрегатные индексы цен и физического объема продукции имеют взаимосвязь: их произведение дает сводный индекс стоимости продукции (индекс товарооборота):

где SR_1* q₁ – стоимость продукции в отчетном году в действующих ценах отчетного года;

SR_0* q₀ – стоимость продукции в базисном году в ценах базисного года.

Индекс стоимости продукции характеризует изменение фактической стоимости произведенной или реализованной продукции или товарооборота. На его изменение влияют два фактора: изменение физического объема продукции и изменение цен.

Пример 29

На основании индексов, рассчитанных в примерах 27 и 28, рассчитаем агрегатный индекс товарооборота по формуле (41):

I_pq = 1,107 _* 1,187 = 1,314 или 131,4%

Товарооборот возрос на 31,4%. На это повлияли следующие факторы: за счет увеличения объема продаж товарооборот возрос на 10,7%, а за счет увеличения цен – на 18,7%. Как видим, цены оказали более сильное влияние, чем объем продаж.

Агрегатные индексы обладают следующим свойством: если из числителя индекса вычесть его знаменатель, получим размеры абсолютных приростов анализируемого показателя.

Рассчитаем абсолютный размер роста товарооборота:

∆pq = (12_*149 +10_*200 +24_*85) – (143_*11 + 126_*7 + 90_*22) =

= 5828 – 4435 = +1393 млн. руб.

Изменение товарооборота за счет роста объема продаж составило:

∆q = (149_*11 +200_*7 + 85_*22) – (143_*11 + 126_*7 + 90_*22) =

= 4909 – 4435 = + 474 млн. руб.

Изменение товарооборота за счет роста цен составило:

∆p = (12 ^, 149 +10 ^, 200 +24 ^, 85) – (11 ^, 149 + 7 ^, 200 + 22 ^, 85) = 5828 – 4909 = + 919 млн. руб.

Сложив размеры прироста объема продаж и цен, получим прирост товарооборота:

∆pq = 474 + 919 = 1393 млн. руб.

Аналогичный факторный анализ можно выполнить при изучении любого экономического показателя.

Индивидуальный индекс себестоимости продукции рассчитывается по формуле

i_Z = Z₁ / Z₀, (42)

где Z₁- себестоимость единицы продукции в отчетном периоде;

Z₀- себестоимость единицы продукции в базисном периоде.

Агрегатный индекс себестоимости рассчитывается по формуле

В этом индексе в качестве соизмерителя взят объем продукции в натуральном выражении в отчетном году.

Пример 30

Проанализировать изменение себестоимости продукции предприятия в отчетном году по сравнению с планом.

Таблица 30 – Показатели себестоимости и объема выпуска продукции

предприятия

Вид продукции	Объем продукции, тыс. ед.	Себестоимость единицы продукции, тыс. руб.
план	отчет	план	отчет
	q0	q1	Z0	Z1
А
Б
В

Решение:

1) Рассчитаем индивидуальные индексы себестоимости по формуле (42):

продукция вида «А»: i_Z = 100 / 102 = 0,980 или 98,0%

продукция вида «Б»: i_Z = 96 / 96 = 1,00 или 100,0%

продукция вида «В»: i_Z = 44 / 45 = 0,978 или 97,8%

2) Рассчитаем агрегатный индекс себестоимости продукции по формуле (43):

3) Рассчитаем абсолютный размер снижения затрат в целом по предприятию, полученный за счет снижения себестоимости единицы продукции:

∆ Z = 12316 – 12501 = –185 млн. руб.

Вывод: себестоимость единицы продукции в целом по всем видам продукции снизилась на 1,5%, в том числе по виду «А» снизилась на 2,0%, по виду «Б» – не изменилась, по виду «В» – снизилась на 2,2%. Это свидетельствует о том, что предприятие проводило целенаправленную работу по снижению себестоимости и добилось экономии затрат в размере 185 млн. руб.

Индивидуальный индекс производительности труда можно рассчитывать либо по трудоемкости:

i_w = t₀ / t₁, (44)

где t₁-трудоемкость единицы продукции в отчетном периоде;

t₀-то же в базисном периоде;

либо по выработке:

i_W = W₁ / W₀, (45)

где W₁ – средняя выработка одного работника в отчетном периоде;

W₀ – то же в базисном периоде.

Агрегатный индекс производительности труда также может рассчитываться по одной из следующих формул:

либо

где Т₁ – среднесписочная численность работников в отчетном периоде.

Пример 31

Проанализируем изменение производительности труда в отчетном году по сравнению с предыдущим годом. Исходные данные – в таблице 31.

Индивидуальные индексы производительности труда рассчитаны по формуле (44) и представлены в таблице 31.

Агрегатный индекс рассчитывается по формуле (46) и составляет:

Таблица 31 – Расчет индексов производительности труда

Вид продукции	Общие трудовые затраты, тыс. чел-час	Общий объем продукции. тыс. ед.	Трудоемкость единицы продукции, чел-час	Индивидуальные индексы производительности труда, %
пред. год	отч. год	пред. год	отч. год	пред. год	отч. год
	T0	T1	q0	q1	t0	t1	iw
А Б					1,5 3,0	1,2 4,0	125,0 75,0

Производительность труда по изделию А” возросла на 25 %, так как трудоемкость изготовления изделия снизилась на 0,3 чел-часа. По изделию “Б”, наоборот, производительность труда снизилась на 25 % (75 – 100). В целом по предприятию уровень производительности труда составил 90 % по отношению к предыдущему периоду, то есть снизился на 10 %.. Это свидетельствует о снижении эффективности работы предприятия, следует разработать план организационно-технических мероприятий по повышению производительности труда.

Индивидуальный индекс расхода материала рассчитывается по формуле

i_m = m₁ / m₀, (48)

где m₁ – материалоемкость или расход материала на единицу продукции в отчетном периоде;

m₀ – тоже в базисном периоде.

Агрегатный индекс расхода материала рассчитывается по формуле

Пример 32

Проанализировать изменение материалоемкости продукции в отчетном году по сравнению с планом.

Таблица 32 – Анализ расхода материала

Вид продукции	Общий расход материала, тыс. кг	Объем выпуска продукции, тыс. ед.	Расход на единицу продукции, кг	Индивидуальные индексы расхода материала, %
план	отчет	план	отчет	план	отчет
	М0	М1	q0	q1	m0	m1	im
А	91,6	99,1	32,7	41,3	2,8	2,4	85,7
Б	26,7	20,0	20,5	18,2	1,3	1,1	84,6
В	33,7	33,1	9,1	8,5	3,7	3,9	105,4

Решение:

Индивидуальные индексы рассчитаны по формуле (48) и сведены в таблицу 32, а агрегатный индекс расхода материала – по формуле (49):

Предприятие достигло положительных результатов в отчетном году. Удельный расход материала снизился в целом по предприятию на 10,8 %, в том числе по изделию «А» снизился на 14,3 %, по изделию «Б» – на 15,4 %, и только по изделию «В» возрос на 5,4 %. Рассчитаем размер экономии материала в целом по всем видам продукции:

∆М = 152,29 – 171,75 = –18,46 тыс. кг.

Для систематизации и более удобного пользования сведем формулы индексов в таблицу 33.

Таблица 33 – Формулы расчета основных видов индивидуальных

и агрегатных индексов

Наименование индекса	Формула индивидуального индекса	Формула агрегатного индекса
1.Индекс физического объема продукции	iq = q1 / q0
2. Индекс цен	ip = p1 / p0
3.Индекс себестоимости	iz = Z1 / Z0
4.Индекс стоимости продукции в действующих ценах (товарооборота)	–
5.Индекс производительности труда, рассчитанный по трудоемкости	i w= t0 / t1
6.Индекс производительности труда, рассчитанный по выработке	i W = W1 / W0
7.Индекс расхода материала	im = m1 / m0