Свойства линейных кодов

Пример

Запишем в виде формул процедуру нахождения символов кодового слова для линейного кода с параметрами (5, 3), если задана некоторая информационная последовательность из трех символов U=(u₁,u₂,u₃). Кодовое слово будет содержать 5 символов V=(v₁,v₂,v₃,v₄,v₅).

Линейный код может быть задан в виде полной таблицы кодовых слов или при помощи указания коэффициентов a_l,i. Второй способ более экономичен.

При задании линейного кода с помощью набора коэффициентов a_l,i записывается образующая матрица G. Матрица G имеет размер k x n.

Первые k столбцов представляют собой единичную матрицу размером k x k, следующие n-k столбцов представляют совокупность коэффициентов a_l,i (матрица проверочных элементов).

Это запись образующей матрицы в канонической форме.

Кодовая комбинация на выходе кодера канала равна произведению информационной последовательности на образующую матрицу линейного кода V=U×G.

1. Любые к линейно-независимых кодовых слов задают все множество 2^к слов линейного кода.

Кодовые слова V_j являются линейно-независимыми, если сумма по модулю 2, приведенная ниже, равна 0 только, когда все двоичные коэффициенты b_j равны 0.

Другими словами: суммирование любого числа кодовых слов из группы k линейно-независимых слов Vj не приводит к нулевому результату.

2. Сумма по модулю 2 любого числа кодовых слов также является словом данного линейного кода.

3. Нулевая последовательность всегда является кодовым словом.

4. Кодовое расстояние d_min равно минимальному весу ненулевого кодового слова.

5. Из любого линейного (n,k) кода с кодовым расстоянием d_min можно получить код (n-i, k-i) с кодовым расстоянием не меньше d_min.