Замкнутые системы массового обслуживания

Лекция 11

Контрольные вопросы к лекции 10

1. Объясните почему формулы выведенные для «схемы гибели и размножения» можно использовать и в случаях когда число состояний системы неограниченно.

2. Как ограничение времени ожидания в СМО отражается на графе состояний?

3. Изобразите граф состояний для системы типа М/М/2.

4. Запишите выражение для вероятности состояний Р₃ СМО типа М/М/2

Модель замкнутой СМО используется для описания систем, у которых нет входного потока, а есть входные заявки, которые циркулируют в системе.

Примером является наладчик (мастер), обслуживающий станки по мере их поломки. Введем следующие обозначения:

- интенсивность генерации заявок;

- интенсивность обработки.

Найти: - вероятность того, что система свободна;

- вероятность того, что в системе существует очередь;

- среднее число заявок ожидающих обслуживания.

Решать задачу будем, используя, уже ставший стандартным, алгоритм.

1. Зададим множество состояний:

S0- система пуста.

S1- в системе одна заявка и она обслуживается.

S2- в системе две заявки, одна обслуживается, одна в очереди.

Sn- n заявок в системе, одна обслуживается, n-1 в очереди.

2. Построим граф состояний:

3. Используя схему гибели и размножения, запишем формулы финальной вероятности:

Замкнутые СМО (бригада из т рабочих обслуживает п станков)

1.Введём множество состояний:

S0- система пуста.

S1- один станок неисправен и он обслуживается.

S2- два станка неисправны и два рабочих заняты.

Sm- m станков неисправны и все рабочие заняты.

Sm+1 – (m+1) станков неисправны, m станков ремонтируется, 1 в очереди.

Sn=(n-m) – станков в очереди, m ремонтируется.

2. Составим граф состояний:

3. Используя схему гибели и размножения запишем формулы финальной вероятности:

Определяем из условий нормировки:

Среднее число занятых рабочих:

Пример. Рабочий обслуживает группу из трех станков. Каждый станок останавливается в среднем два раза в час. Процесс наладки занимает в среднем 10 мин. Определить абсолютную пропускную способность наладки рабочим станков.

Имеем: n=1, m=3, l=2, Т_обс=1/6, m=6. Находим: ,