2014-02-09
1010
Зависимость между изгибающим моментом, поперечной
Построение эпюр поперечних сил и изгибающих моментов.
Лекция 7
Рассмотрим балку, нагруженную произвольной распределенной нагрузкой 
(рис. 7.1,а).
Выделим из бруса элемент длиной 
и приложим слева и справа поперечные силы 
и( + 
) и изгибающие моменты
и ( + 
), соответственно, приняв направления этих силовых факторов положительными в соответствии с выбранными выше правилами знаков (рис. 7.1,б). В пределах малого участка нагрузку 
принимаем распределенную равномерно.
Рис. 7.1
Составим уравнения равновесия:
; 
;
; 
.
Произведя упрощения и отбросив произведение величин высшего порядка малости, получим 
, т.е. первая производная от поперечной силы по длине балки равна интенсивности распределенной нагрузки; 
из второго уравнения, т.е. первая производная от изгибающего момента по длине балки равна поперечной силе.
Эти соотношения действительны, когда абсцисса поперечного сечения балки возрастает от левого конца балки.
|
|
|
Полученные зависимости позволяют получить при любой внешней нагрузке следующиеправила проверки эпюри:
1. На участках балки, где = 0, эпюрыограничены прямыми, параллельными базе (продольной оси балки), а эпюра – наклонными прямыми. 2. На участках, где ¹0, эпюры ограничены прямыми, наклонными к базе, а эпюры – параболами, направленными 6 выпуклостью навстречу действию . 3. В сечениях балки, где эпюраменяет знак (слева направо) с (+) на (-), на эпюре экстремум максимум и наоборот... 4. На участках балки, где эпюра = 0, эпюра – прямая, параллельная базе. 5. На участках балки, где эпюра> 0, эпюра возрастает слева направо, и наоборот.... В сечениях балки, где приложены внешние активные и реактивные сосредоточенные силы, на эпюревозникают скачки на их величину и в направлении этих сил, а на эпюре– изломы, направленные навстречу этим силам. 7. В сечениях балки, где приложены сосредоточенные моменты, на эпюре возникают скачки на их величину и в направлении этих моментов. 8. Эпюра является диаграммой производной от эпюры . Следовательно, ордината на эпюре в любом сечении равна тангенсу угла наклона касательной к эпюре в этом сечении балки.
Рассмотрим несколько примеров.
7.2. Пример 1. Построить эпюры и для консольной балки (рис. 7.2,а). Чтобы не определять реакции в опоре
, строим эпюры от правого конца балки в следующем порядке. Разобьем балку 
на участки I и II, в пределах которых законы изменения и остаются постоянными. Границами участков являются: начало и конец балки, точки приложения внешних сосредоточенных сил (включая опорные реакции), начало и конец приложения распределенных сил . Выберем начало координат на правом конце балки 
и на основании формул и правил знаков, составим выражения для и в произвольных сечениях 
для каждого участка. Участок I 
:
|
|
|
; 
;
здесь 
– равнодействующая распределенной нагрузки в пределах отрезка длиной ; она приложена посредине этого отрезка и поэтому момент её отнсительно сечения 
равен 
.
При = 0; = 
;
= 0;
при = 
; 
; = 
.
Участок II (
): 
,
т.е. поперечная силана участке II не зависит от 
(конец приложения нагрузки совпал с началом этого участка.
Рис.7.2 
;
при = ; 
;
при = 
; 
.
Выбрав масштаб, строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 7.2.б,в), а затем проверяем правильность их получения.
7.3. Пример 2. Построить эпюры и для двухопорной балки (рис. 7.3,а). Решение задачи:
Определяем опорные реакции:
; 
;
;
; 
;
;
Проверка: ; 
; 30 – 20×4 + 50 = 0.
Разбиваем балку на cиловые участки I и II; составляем выражения дляи :
Участок I (
):
; 
;
при = 0; 
; = 0; при = 
; = 30 – 20×4 = –50
;
= 30×4 – 20×42/2 = –40
.
Построив эпюрувидим,что
она меняет знак c (+) на (-), т.е. на
участке I на эпюренеобходимо определить экстремум.
Рис.7.3
Получим:
;
.
Тогда: 
.
Участок II (
):= 0; = 
.
Эпюры и показаны на рис. 7.3 б, в.
