2014-02-09
1030
Зависимость между изгибающим моментом, поперечной
Построение эпюр поперечних сил и изгибающих моментов.
Лекция 7
Рассмотрим балку, нагруженную произвольной распределенной нагрузкой 
(рис. 7.1,а).
Выделим из бруса элемент длиной 
и приложим слева и справа поперечные силы 
и( + 
) и изгибающие моменты
и ( + 
), соответственно, приняв направления этих силовых факторов положительными в соответствии с выбранными выше правилами знаков (рис. 7.1,б). В пределах малого участка нагрузку 
принимаем распределенную равномерно.
Рис. 7.1
Составим уравнения равновесия:
; 
;
; 
.
Произведя упрощения и отбросив произведение величин высшего порядка малости, получим 
, т.е. первая производная от поперечной силы по длине балки равна интенсивности распределенной нагрузки; 
из второго уравнения, т.е. первая производная от изгибающего момента по длине балки равна поперечной силе.
Эти соотношения действительны, когда абсцисса поперечного сечения балки возрастает от левого конца балки.
Полученные зависимости позволяют получить при любой внешней нагрузке следующиеправила проверки эпюри:
1. На участках балки, где = 0, эпюрыограничены прямыми, параллельными базе (продольной оси балки), а эпюра – наклонными прямыми. 2. На участках, где ¹0, эпюры ограничены прямыми, наклонными к базе, а эпюры – параболами, направленными 6 выпуклостью навстречу действию . 3. В сечениях балки, где эпюраменяет знак (слева направо) с (+) на (-), на эпюре экстремум максимум и наоборот... 4. На участках балки, где эпюра = 0, эпюра – прямая, параллельная базе. 5. На участках балки, где эпюра> 0, эпюра возрастает слева направо, и наоборот.... В сечениях балки, где приложены внешние активные и реактивные сосредоточенные силы, на эпюревозникают скачки на их величину и в направлении этих сил, а на эпюре– изломы, направленные навстречу этим силам. 7. В сечениях балки, где приложены сосредоточенные моменты, на эпюре возникают скачки на их величину и в направлении этих моментов. 8. Эпюра является диаграммой производной от эпюры . Следовательно, ордината на эпюре в любом сечении равна тангенсу угла наклона касательной к эпюре в этом сечении балки.
Рассмотрим несколько примеров.
7.2. Пример 1. Построить эпюры и для консольной балки (рис. 7.2,а). Чтобы не определять реакции в опоре
, строим эпюры от правого конца балки в следующем порядке. Разобьем балку 
на участки I и II, в пределах которых законы изменения и остаются постоянными. Границами участков являются: начало и конец балки, точки приложения внешних сосредоточенных сил (включая опорные реакции), начало и конец приложения распределенных сил . Выберем начало координат на правом конце балки 
и на основании формул и правил знаков, составим выражения для и в произвольных сечениях 
для каждого участка. Участок I 
:
; 
;
здесь 
– равнодействующая распределенной нагрузки в пределах отрезка длиной ; она приложена посредине этого отрезка и поэтому момент её отнсительно сечения 
равен 
.
При = 0; = 
;
= 0;
при = 
; 
; = 
.
Участок II (
): 
,
т.е. поперечная силана участке II не зависит от 
(конец приложения нагрузки совпал с началом этого участка.
Рис.7.2 
;
при = ; 
;
при = 
; 
.
Выбрав масштаб, строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 7.2.б,в), а затем проверяем правильность их получения.
7.3. Пример 2. Построить эпюры и для двухопорной балки (рис. 7.3,а). Решение задачи:
Определяем опорные реакции:
; 
;
;
; 
;
;
Проверка: ; 
; 30 – 20×4 + 50 = 0.
Разбиваем балку на cиловые участки I и II; составляем выражения дляи :
Участок I (
):
; 
;
при = 0; 
; = 0; при = 
; = 30 – 20×4 = –50
;
= 30×4 – 20×42/2 = –40
.
Построив эпюрувидим,что
она меняет знак c (+) на (-), т.е. на
участке I на эпюренеобходимо определить экстремум.
Рис.7.3
Получим:
;
.
Тогда: 
.
Участок II (
):= 0; = 
.
Эпюры и показаны на рис. 7.3 б, в.
