Теорема Абеля

1. Если степенной ряд () сходится при некотором значении х ₀ 0, то он сходится абсолютно при всяком значении х, для которого | x | < | x ₀|;

2. если ряд расходится при некотором значении , то он расходится при всяком х, для которого | x | > ||.

○ 1. Так как по предположению числовой ряд сходится, то = 0, и, следовательно, существует такое число М >0, что | а_n |< M для любых п N. Пусть | x | < | x ₀|, тогда

= ≤ .

Члены ряда представляют собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем < 1, т.е. этот ряд сходится. Следовательно, ряд

в точке х 0 сходится абсолютно.

2. Если бы в какой-либо точке х, удовлетворяющей неравенству | x | > ||, ряд сходился, то в силу доказанной первой части теоремы он должен был бы сходиться и в точке , т.к. || < | x |. Но это противоречит условию, что в точке ряд расходится. Следовательно, ряд расходится и в точке х. ●

Из теоремы Абеля следует, что если степенной ряд () сходится хотя бы в одной точке х 0, то всегда существует число R > 0 такое, что степенной ряд сходится абсолютно для всех | x | < R или х (− R, R) и расходится для всех | x | > R или х (−∞; − R)(R; +∞)

При х = ± R ряд может сходиться или расходиться. Нужна проверка.

Интервал (− R, R) − интервал сходимости степенного ряда; R − радиус сходимости.

Таким образом, областью сходимости степенного ряда является интервал сходимости (без учета проверки точек х = ± R).

Замечание. Интервал сходимости степенного ряда (1) имеет вид (− R; + R).

Для определения радиуса сходимости можно использовать признак Даламбера или радикальный признак Коши. Пусть имеется степенной ряд . Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов . Для определения сходимости последнего ряда применим признак Даламбера. Пусть существует предел

= = = L | x |.

Тогда по признаку Даламбера последний ряд сходится, если L | x | < 1, т.е. если | x | < , и расходится, если L | x | > 1, т.е. если | x | > . Обозначим через радиус сходимости R, т.е. R = . Тогда

R = = = .

Таким образом, радиус сходимости степенного ряда можно определить по формуле

R = .

Аналогично, по радикальному признаку Коши получим

R = .

Пример. Найти область сходимости ряда:

□Найдем интервал сходимости , где R – радиус сходимости. Найдем радиус сходимости R:

Следовательно, интервал сходимости ряда. Исследуем сходимость ряда на концах интервала:

Полученный ряд является обобщенным гармоническим рядом, в котором Следовательно, полученный ряд расходится;

Получили знакочередующийся ряд. Используем теорему Лейбница:

Значит, полученный ряд сходится.

Областью сходимости заданного ряда является промежуток .

■

Свойства степенных рядов

1⁰. Если радиус сходимости R степенного ряда отличен от нуля, то его сумма S (x) непрерывна на интервале сходимости .

2⁰. Если для степенного ряда , R 0, то степенной ряд можно почленно дифференцировать на интервале сходимости и для его суммы S (x) = справедливо равенство = .

Следствие. Степенной ряд на , R 0, можно почленно дифференцировать любое число раз.

3⁰. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке [ x ₀; x ] (− R, R), при этом, если S (x) = , то

= − .

Следствие. Степенной ряд можно почленно интегрировать любое число раз на отрезке [ x ₀; x ] (− R, R).

4⁰. Операции почленного дифференцирования и интегрирования на любом отрезке [ x ₀; x ] (− R, R) степенного ряд не изменяют его радиуса сходимости R.

Ряды Тейлора и Маклорена

Рядом Тейлора для функции f (x) в окрестности точки а называется степенной ряд по степеням х − а вида

f (а) + (х − а) + (х − а)² + … + (х − а) ^п + …. (1)

Формально ряд Тейлора можно построить для всякой функции, которая в окрестности точки а имеет производные любого порядка. Однако этот ряд будет сходиться к породившей его функции f (x) только при тех значениях х, при которых остаточный член

R_{n +1}(x) = (х − а) ^{п +1}

(с = а + (х − а), 0 < < 1) формулы Тейлора для этой функции стремится к нулю при п → ∞. Если R_{n +1}(x) → 0 при п → ∞, то можно записать

f (x) = f (а) + (х − а) + (х − а)² + … + (х − а) ^п + …, ()

т.е. записать разложение функции f (x) в ряд Тейлора.

При а = 0 ряд Тейлора есть степенной ряд по степеням х

f (0) + х + х ² + … + х^п +…, (2)

который называется рядом Маклорена.

Тогда разложение функции f (x) в ряд Маклорена имеет вид

f (x) = f (0) + х + х ² + … + х^п + …. ()

Для разложения функции f (x) в ряд Тейлора необходимо:

а) написать разложение функции согласно данной формуле;

б) исследовать остаточный член R_{n +1}(x) формулы Тейлора для данной функции и определить совокупность значений х, при которых =0.

Замечание. Для большинства функции область сходимости ряда Тейлора совпадает с совокупностью значений х, при которых =0. Поэтому при разложении многих функций в ряд Тейлора можно вместо исследования соответствующего остаточного члена R_{n +1}(x), что во многих случаях весьма затруднительно, исследовать сходимость самого ряда Тейлора как обычного степенного ряда.

Пример. Разложить функцию f (x) = в ряд Тейлора по степеням х − 2.

□

Из условия видно, что а = 2.

а) Найдем значения этой функции и ее производных для х = а = 2:

f (x) = х ⁻¹, f (2) = 2⁻¹;

=−1 х ⁻², =−1∙2⁻²;

=1∙2 х ⁻³, =1∙2∙2⁻³;

=−1∙2∙3 х ⁻⁴, =−1∙2∙3∙2⁻⁴;

…………………………………………………………

=(−1) ^пп! х^{−п −1}, = (−1) ^пп!2 ^{−п − 1} = ;

…………………………………………………………..

Подставляя в формулу разложения (), получим

= − + − + … + + …

или

= − + − + … + + ….

б) Чтобы установить, при каких значениях х полученное разложение справедливо, определим область сходимости построенного ряда.

Найдем радиус сходимости R:

R = = = = 2,

т.е. интервалом сходимости будет интервал (−2; 2). Но это интервал для х − 2, а не для х. Поэтому проведем следующее преобразование:

−2 < х − 2 < 2, 0 < х < 4,

т.е. интервалом сходимости для построенного ряда будет интервал (0; 4).

Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

Пусть х = 0:

= = = = (1+1+1+..+1+…).

Ряд расходится, например, согласно необходимому признаку сходимости.

Пусть х = 4:

=== = (1−1+1−...+(−1) ^п +…).

Ряд расходится, например, согласно необходимому признаку сходимости.

Следовательно, областью сходимости построенного ряда является интервал (0; 4). Значит разложение функции f (x)= справедливо для всех х (0; 4).

■

Разложение элементарных функций в ряд Маклорена

1. Разложить в ряд Маклорена функцию f (x) = .

□

а) Найдем значения этой функции и ее производных:

f (x) = , f (0) = = 1;

= , = = 1;

= , = = 1;

= , = = 1;

…………………………………….

= , = = 1;

……………………………………...

Подставляя в формулу разложения (), получим

= 1 + + + + … + + …. (3)

б) Остаточный член формулы Маклорена имеет вид

R_{n +1}(x) = , 0 < < 1.

Чтобы установить, при каких значениях х предел = 0, рассмотрим ряд . Применим к этому ряду признак Даламбера:

= = = 0 < 1

при любом х.

Следовательно, ряд сходится. Отсюда следует, что = 0 (необходимый признак сходимости) при любых х. Таким образом, полученный ряд сходится к функции при всех значения х или, другими словами, разложение функции справедливо на интервале (−∞; +∞).

Проверим справедливость разложения по приведенному замечанию, т.е. найдем область сходимости построенного ряда. Найдем радиус сходимости R:

R = = = == +∞.

Следовательно, областью сходимости полученного ряда является интервал (−∞; +∞). Делаем вывод, что разложение справедливо для всех х (−∞; +∞).

■

Аналогично можно разложить в ряд Маклорена следующие функции:

2. f (x) = :

= х −+ − … + (−1) ^п + … (4)

для х (−∞; +∞).

3. f (x) = :

= 1 −+ − … + (−1) ^п + … (5)

для х (−∞; +∞).

4. f (x) = (1+ х) ^т (биномиальный ряд):

(1+ х) ^т = 1+ тх + х ² + х ³ +…+ х^п +… (6)

при т 0 для х [−1; 1];

−1< т < 0 для х (−1; 1];

т −1 для х (−1; 1).

5. f (x) = :

= х + + + + … + ∙+ … (7)

для х (−1; 1).

6. f (x) = :

= х −+ − + … + (−1) ^п + … (8)

для х [−1; 1].

7. f (x) = (f (x) = ):

= х −+ − + … + (−1) ^п + … (9)

для х (−1; 1].

Заменяя х на − х:

= − х −− − − … − − … (10)

для х [−1; 1).

Приложения степенных рядов

1. Приближенное вычисление значений функций.

В процессе вычислений необходимо помнить, в каждом приближенном результате после запятой должно быть на один знак больше, чем в заданной точности .

Пример. Вычислить с точностью = 10⁻⁵ = 0,00001.

□

Воспользуемся разложением функции f (x) = в степенной ряд:

для х (−∞;+∞).

Градусную меру измерения необходимо перевести в радианную:

= , 0,174533.

Полагая , получим ряд для вычисления с любой точностью:

= = 0,174533 − 0,000886 + 0,000001 ≈

≈ | 0,000001 < = 0,00001| ≈ 0,174533 − 0,000886 = 0,173647,

т.е. ≈ 0,173647.

Значения пяти знаков после запятой гарантированы.

■

2. Приближенное вычисление интегралов.

Существуют определенные интегралы, которые не выражаются через элементарные функции. Такие интегралы удобно вычислять с помощью рядов.

Пример. Вычислить определенный интеграл с точностью :

.

□ Так как

, для х ,

то

= ,

для х .

Подставляя полученное разложение вместо подынтегральной функции, получим:

= ≈

,

т.е.

≈ 0,743.

Значения двух знаков после запятой гарантированы.

■

3. Интегрирование дифференциальных уравнений.

Степенные ряды могут применяться также для решения дифференциальных уравнений, например, в случае, если их решения не удается найти в элементарных функциях.

Так, если требуется решить для уравнения = f (x, y) задачу Коши при начальном условии у (х ₀) = у ₀, то можно воспользоваться рядом Тейлора

у = = у (х ₀) + (х − х ₀) + (х − х ₀)² + …,

где у (х ₀) = у ₀, = f (х ₀, у ₀). Дальнейшие производные находят последовательным дифференцированием исходного уравнения и подстановкой в результат дифференцирования вместо х, у,, … значений х ₀, у ₀, , ….

Если х ₀ = 0, то для решения используют ряд Маклорена:

у = = у (0) + х + х ² + ….

Аналогично с помощью этих рядов можно интегрировать и уравнения высших порядков.

Пример. Найти три первых, отличных от нуля, члена ряда, определяющего решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями

□ Так как х ₀ = 0, то воспользуемся разложением

у = = у (0) + х + х ² + ….

Найдем коэффициенты при х:

;

,

.

Подставляя найденные значения в формулу, получим

.

■