Понятие уравнений в частных производных

3 4 5 6 7 8 9

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Простейшие дифференциальные уравнения в частных производных

Пример. Найти функцию z = z (x, y), удовлетворяющую дифференциальному уравнению

□ Интегрируя уравнение, получим

где − произвольная функция. Таким образом, функция − общее решение заданного дифференциального уравнения. ■

Пример. Решить уравнение

□ Интегрируя уравнение по х, получим

Проинтегрировав полученный результат по у, находим общее решение

где . ■

Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка

Линейное уравнение

, (1)

где z − неизвестная функция независимых переменных , а функции − заданные функции от .

Если в (1) функции зависят также и от z, то уравнение называется квазилинейным.

Если :

то уравнение называется однородным.

Задача интегрирования линейного однородного уравнения равносильна задаче интегрирования так называемой характеристической системы

. (2)

Пусть решение этой системы определяется равенствами

Тогда общий интеграл дифференциального уравнения будет иметь вид

где − произвольная непрерывно дифференцируемая функция.

Для интегрирования неоднородного и квазилинейного уравнения (1) строится характеристическая система

решением которой являются равенства

Тогда общий интеграл дифференциального уравнения будет иметь вид

где − произвольная непрерывно дифференцируемая функция.

Геометрическая интерпретация. В случае уравнения с двумя независимыми переменными и ,

решение изображается поверхностью в трехмерном пространстве xyz, которая называется интегральной поверхностью этого уравнения.

Уравнение означает, что в каждой точке интегральной поверхности вектор нормали ортогонален заданному в этой точке вектору . Система принимает при этом вид

откуда следует, что интегральные кривые этой системы, так называемые характеристики, касательны к векторам . Поэтому характеристика, имеющая с интегральной поверхностью общую точку, целиком лежит на этой поверхности. Через каждую точку пространства проходит интегральная кривая характеристической системы, и интегральные поверхности составляются из характеристик.

Пример. Найти общий интеграл уравнения

□ Составим характеристическую систему

или

Решая первое уравнение, получим ; решая второе уравнение, получим . Теперь можно найти общий интеграл заданного уравнения:

или ,

т.е. , где − произвольная функция. ■

Пример. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению

и проходящую через окружность , z = 3.

□ Построим и решим характеристическую систему

или .

Освободившись от знаменателя, получим

Интегрируя оба уравнения, получим

, .

Общий интеграл заданного уравнения имеет вид

. (*)

Из семейства поверхностей, определяемых этим уравнением, нужно выделить поверхность, проходящую через окружность , z = 3. Для того, чтобы найти функцию , в равенстве (*) положим , z = 3. Тогда получим . Пусть , тогда . Следовательно, , т.е.

Подставляя найденное выражение в соотношение (*), получим

или .

Таким образом, искомой поверхностью является сфера радиуса R = 5. ■

Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.

Приведение к каноническому виду

Рассмотрим уравнение второго порядка

+ + + = 0, (1)

где А, В, С, z – функции х и у.

Говорят, что уравнение (1) в области D принадлежит гиперболическому типу, если в этой области . При уравнение принадлежит параболическому типу, а при уравнение принадлежит эллиптическому типу.

Уравнение

называется каноническим уравнением гиперболического типа;

Уравнение

называется каноническим уравнением параболического типа;

Уравнение

+ =

называется каноническим уравнением эллиптического типа.

Дифференциальное равнение

называется уравнением характеристик уравнения (1).

Для уравнения гиперболического типа уравнение характеристик имеет два интеграла: и , т.е. существуют два семейства действительных характеристик. С помощью замены переменных и дифференциальное уравнение (1) приводится к каноническому виду.

Для уравнения параболического типа оба семейства характеристик совпадают, т.е. уравнение характеристик дает лишь один интеграл . В этом случае следует сделать замену и , где − какая-нибудь функция, для которой . После такой замены уравнение приводится к каноническому виду.

Для уравнения эллиптического типа интегралы уравнения характеристик имеют вид , где и − действительные функции. С помощью подстановки и дифференциальное уравнение (1) приводится к каноническому виду.

Пример. Привести к каноническому виду уравнение

□ Имеем А = х ², В = 0, С = , . Следовательно, заданное уравнение является уравнением гиперболического типа.

Составим уравнение характеристик

или .

Получили два дифференциальных уравнения

и .

Решая уравнения, получим

, , ;

, , .

В результате получили уравнения двух семейств характеристик: , . Введем новые переменные , . Выразим частные производные по старым переменным через частные производные по новым переменным: