Основные правила дифференцирования

Теорема 4.2.1. Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций.

Доказательство. Пусть у = u (x) ± v (x), где u = u (x) и v = v (x) – дифференцируемые функции. Поскольку D у = D u ± D v, то

= ± .

Тогда

= ± = u’ ± v’.

Следовательно,

(u ± v) ’ = u’ ± v’.

Теорема доказана.

Теорема 4.2.2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению первой функции на производную второй плюс произведение второй функции на производную первой:

(u × v)' = u' × v + u × v'.

Доказательство. Пусть у = u × v, где u = u (x) и v = v (x) – дифференцируемые функции. Так как D у = (u + D u)(v + D v) – u × v = u ×D v + v ×D u + D u ×D v, то = u ×+ v ×+ ×D v. Согласно теореме 4.1.1 D v = 0. Тогда получаем, что

= (u ×) + (v ×) + (×D v) =

u ×+ v ×+ ×D v = u' × v + u × v' + u' ×0 = u' × v + u × v'.

Теорема доказана.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

(с× v) ' = с× v'.

Теорема 4.2.3. Производная частного двух дифференцируемых функций определяется формулой

¢ = (v ¹ 0).

Доказательство. Если y = , где u = u (x) и v = v (x) – дифференцируемые функции, причём v (х) ¹ 0, то

Dу = – = ,

= .

Следовательно,

= ,

так как D v = 0. Теорема доказана.

Если у = f (x) и х = j(у) – взаимно-обратные функции и у ¹ 0, то

х = .

Действительно, так как = , то

= ,

откуда и следует, что х = .