Лекция № 4. Дискретные и непрерывные случайные величины

При проведении стохастического эксперимента формируется пространство элементарных событий – возможных исходов этого эксперимента. Считают, что на этом пространстве элементарных событий задана случайная величина X, если задан закон (правило) по которому каждому элементарному событию сопоставляется число. Таким образом, случайную величину X можно рассматривать, как функцию, заданную на пространстве элементарных событий.

? Случайная величина - величина, которая при каж­дом испытании прини­мает то или иное числовое значение (на­перед неизвестно, какое именно), зависящее от случайных при­чин, которые заранее не могут быть учтены. Случайные величины обозначают за­главными буквами латинского алфавита, а возможные значе­ния случайной величины – малыми. Так, при бросании игрального кубика проис­ходит событие, связанное с числом x, где x – выпавшее число очков. Число очков – случайная величина, а числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 – возможные значе­ния этой величины. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия – тоже случайная величина (зависит от установки при­цела, силы и направления ветра, температуры и других факто­ров), а возможные значения этой величины принадлежат неко­торому промежутку (a; b).

? Дискретная случайная величина – случайная величина, которая принимает отдельные, изо­лированные возмож­ные значения с определенными вероятно­стями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным.

? Непрерывная случайная величина – случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного проме­жутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины – беско­нечно.

Например, число выпавших очков при бросании кубика, балльная оценка за кон­трольную работу – дискретные случайные величины; рас­стояние, которое пролетает снаряд при стрельбе из орудия, по­грешность измерений показателя времени усвоения учебного мате­риала, рост и вес человека – непрерывные случайные величины.

? Закон распределения случайной величины – соответствие между возмож­ными значениями случайной величины и их вероятностями, т.е. каждому воз­можному значению x _i ставится в соответствие ве­роятность p _i, с которой случайная величина может принять это значение. Закон распределения случайной величины может быть задан таблично (в форме таблицы), аналитиче­ски (в виде формулы) и графически.

Пусть дискретная случайная величина X принимает значения x ₁, x ₂, …, x_n с ве­роятностями p ₁, p ₂, …, p_n соответственно, т.е. P (X = x ₁) = p ₁, P (X = x ₂) = p ₂, …, P (X = x_n) = p_n. При табличном задании закона распределения этой величины первая строка таблицы содержит воз­можные значения x ₁, x ₂, …, x_n, а вторая – их вероятности (см. рис. 2.3).

Рис. 2.3

В результате испытания дискретная случайная величина X принимает одно и только одно из воз­можных значений, поэтому события X = x ₁, X = x ₂, …, X = x_n образуют полную группу попарно несовместных событий, и, значит, сумма вероятностей этих событий равна единице, т.е. p ₁ + p ₂ +… + p_n =1.

Пример 2.23. Студент сдает два экзамена: по математике и инфор­матике. Составьте закон распре­деления случайной величины X, числа полученных пятерок, если вероятность получения пятерки по матема­тике равна 0,7, а по информатике – 0,6.

Решение. Пусть A ₁ и A ₂ – события, заключающиеся в том, что ма­тематика и информатика сданы на «5». Возможные значения X есть 0, 1, 2, причем

P (X =0) = P (` A <sub>1</sub> ·` A ₂) = P (` A <sub>1</sub>) · P (` A ₂) = (1-0,7)·(1-0,6) = 0,3·0,4 = 0,12;

P (X =1) = P (A ₁·` A <sub>2</sub> +` A ₁ ·` A <sub>2</sub>) = P (A <sub>1</sub>·` A ₂) + P (` A ₁ · A ₂) = 0,7·0,4 + 0,3·0,6 = 0,46;

P (X =2) = P (A ₁ · A ₂) = P (A ₁) · P (A ₂) = 0,7·0,6 = 0,42.

Следовательно, закон распределения данной случайной величины в форме таблицы и в виде гра­фика будет таким (см. рис. 2.4).

Контроль: 0,12 + 0,46 + 0,42 = 1.

а) б)

Рис. 2.4

? Функция распределения случайной величины – функция F(x), определяющая для каждого значе­ния x вероятность того, что случайная вели­чина X примет значение, меньшее x, т.е.

F (x) = P (X < x).

Эта функция используется для задания распределений как дискретных, так и не­прерывных С.в.

При известном законе распределения Ф.р. дискретной слу­чайной величины имеет вид F (x) = P (X < x) = p _i, где (x < x _i) озна­чает, что суммирование ведется по всем ин­дексам i, для ко­торых это неравенство выполнимо.

?Теорема 2.16. Функция F (x) – неубывающая функция, т.е. F (x ₂) ³ F (x ₁), если x ₂ ³ x ₁.

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение из ин­тервала (a; b), равна приращению функции распределения на этом интервале, т.е. P (a £ X < b) = F (b) – F (a).

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная слу­чайная величина X примет одно определенное значение, равна нулю.

?Теорема 2.17. Если возможные значения случайной ве­личины принадлежат ин­тервалу (a; b), то: 1) F (x) = 0 при x £ a; 2) F (x) = 1 при x ³ b.

Доказательство этой теоремы опускается.

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины распо­ложены на всей оси x, то:

Функция распределения F (x) дискретной С.в. является ступенчатой, сохра­няющей постоянное значение на каждом интервале, не со­держащем точек x _i, и терпящей в этих точках скачок, рав­ный p _i.

Пример 2.24. Школьник дает ответы («Да» или «Нет») на 10 во­просов, причем вероятность поло­жительного ответа равна 0,5. По­стройте: а) закон распределения случайной величины, характери­зую­щей количество положительных ответов; б) функцию распределения этой случайной величины; в) найдите вероятность того, что школьник в серии из 10 вопросов даст менее 8, но больше 3 положи­тельных от­ветов.

Решение. а) Определим вероятность того, что в данном опросе школьник даст ровно 0, 1, 2,..., 10 положительных ответов. Вероят­ность положительного ответа на вопрос обозначим как p = 0,5. Тогда вероятность отрицательного ответа составит q = 1 – p = 0,5. Рассмат­риваемое в задаче испытание удовлетворяет схеме Бернулли. Для на­шего примера вероятности положительного ответа ровно 0; 1; 2;...; 10 раз равны: P ₁₀(0) = C ₁₀⁰ p ⁰ q ¹⁰ = 0,001; P ₁₀(1) = C ₁₀¹ p ¹ q ⁹ = 0,01; P ₁₀(2) = C ₁₀² p ² q ⁸ = 0,044; P ₁₀(3) = C ₁₀³ p ³ q ⁷ = 0,117; P ₁₀(4) = C ₁₀⁴ p ⁴ q ⁶ = 0,205; P ₁₀(5) = C ₁₀⁵ p ⁵ q ⁵ = 0,246; P ₁₀(6) = C ₁₀⁶ p ⁶ q ⁴ = 0,205; P ₁₀(7) = C ₁₀⁷ p ⁷ q ³ = 0,117; P ₁₀(8) = C ₁₀⁸ p ⁸ q ² = 0,044; P ₁₀(9) = C ₁₀⁹ p ⁹ q ¹ = 0,01; P ₁₀(10) = C ₁₀¹⁰ p ¹⁰ q ⁰ = 0,001.

Случайную величину (число положительных ответов в опросе из 10 вопросов) обозначим через X. События, состоящие в том, что слу­чайная величина X принимает каждое из возможных значений X =0, X =1,..., X = 10, являются несовместными, т.к. случайная величина X может принимать в данной серии испытаний только одно значение. Следовательно, закон распределения данной случайной ве­личины в форме таблицы будет таким (см. рис. 2.5а).

Контроль: 0,001+ 0,01+ 0,044 + 0,117+ 0,205 + 0,246 + 0,205 + 0,117 + 0,044 + + 0,01 + 0,001 = 1.

б) Если x £0, то F (x)=0. Если 0 < x £ 1, то F (x)=0,001, т.к. X может принять значение 0 с вероятно­стью 0.001. Если 1 < x £ 2, то F (x) = P (x <2) = P ₁₀(0) + P ₁₀(1) = 0,011. Если 2< x £ 3, то F (x) = P (x <3) = P ₁₀(0) + P ₁₀(1) + P ₁₀(2) = 0,055 и т.д. Следовательно, функция распределения имеет вид

0, если x Î(-¥; 0];

0,001, если x Î(0; 1];

0,011, если x Î(1; 2];

0,055, если x Î(2; 3];

0,172, если x Î(3; 4];

0,377, если x Î(4; 5];

F (x) = 0,623, если x Î(5; 6];

0,828, если x Î(6; 7];

0,945, если x Î(7; 8];

0,989, если x Î(8; 9];

0,999, если x Î(9; 10];

1, если x Î(10; +¥).

График функция распределения F (x) случайной величины показан на рис. 2.5б.

в) По следствию 1 из теоремы 2.16 P (3< X <8) = F (8) – F (3) = 0,945 – 0.055 = 0,89.

Ответ: в) 0,89.

а)

б)

Рис. 2.5

Пример 2.25. Случайная величина задана X задана функцией рас­пределения

0, если x Î(-¥; -1];

F (x) = 0,25 x + 0,25, если x Î(-1; 3];

1, если x Î(3; +¥).

Найти вероятность того, что в результате испытания X примет зна­чение, принадлежащее интер­валу (0; 2).

Решение. По следствию 1 из теоремы 2.16 P (0< X <2) = F (2) – F (0). Так как на интервале (0; 2) по условию F (x) = 0,25 x +0,25, то F (2) – F (0) = (0,25·2+0,25) – (0,25·0+0,25) = 0,5.

Ответ: 0,5.

? Плотность вероятности (плотность распределения веро­ятности) (f (x)) - это производная от функции распределения непрерывной С.в., т.е. f(x) = F¢ (x).

В точках, где производная не определена, считают, что f (x) = 0. Ясно, что функция распределения

?Теорема 2.18. Плотность вероятности неотрицательна, т.е. f (x)³0.

?Теорема 2.19. Для непрерывной случайной величины X вероятность по­падания в промежуток с концами a и b (неважно, открытый или замкнутый) равна

P (a < X < b) = P (a £ X £ b) = F (b) – F (a) = .