Дискретные случайные векторы. Закон распределения дискретного случайного вектора

Определение. Случайный вектор называется дискретным, если множество его возможных значений конечно или счетно:

или ,

где .

Из определения следует, что случайный вектор является дискретным тогда и только тогда, когда все его координаты , являются дискретными случайными величинами.

Рассмотрим более подробно случай двумерного дискретного случайного вектора , принимающего конечное число значений (случай счетного числа значений рассмотреть самостоятельно). Для полной вероятностной характеристики такого дискретного случайного вектора достаточно указать все его возможные значения и вероятности , с которыми эти значения принимаются, (предполагается, что случайная величина принимает значений, а случайная величина принимает значений, так что у вектора возможных значений ).

Как и в одномерном случае, подобную информацию о дискретном случайном векторе записывают в виде таблицы, но с двумя входами:

			…		(3.2)
			…
			…
			…

которую называют законом распределения дискретного случайного вектора (двумерным дискретным законом распределения или совместным законом распределения дискретных случайных величин и ).

При этом, поскольку события , , образуют полную группу событий, то вероятности удовлетворяют условию нормировки:

.

По двумерному закону распределения вероятность попадания дискретного случайного вектора в любое борелевское множество определяется по формуле:

.

В частности, при получается следующее выражение для функции распределения дискретного случайного вектора :

.

(сравнить с одномерным случаем, когда ).

График функции распределения дискретного случайного вектора является кусочно-постоянным со скачками в точках , являющихся его возможными значениями, величина которых определяется вероятностями .

Одномерные законы распределения каждой из случайных величин и в отдельности (маргинальные законы распределения) дискретного случайного вектора являются дискретными и находятся по двумерному закону распределения следующим образом:

Так как событие , то в силу аддитивности вероятности

. (3.3)

Таким образом, закон распределения случайной величины имеет вид:

где в соответствии с (3.3) вероятность получается суммированием в -ой строке таблицы (3.2) вероятностей , .

Аналогично, вероятности

(3.4)

и поэтому закон распределения случайной величины имеет вид:

где в соответствии с (3.4) вероятность получается суммированием в -ом столбце таблицы (3.2) вероятностей , .

Многомерный случай дискретного случайного вектора полностью аналогичен двумерному, только менее нагляден и имеет громоздкую индексацию. Так, закон распределения n -мерного дискретного случайного вектора определяется набором вероятностей , где - значения координаты , , .