Наращенная сумма и современная стоимость постоянной ренты постнумерандо

(на примере годовой ренты)

Методом прямого счета, как это было рассмотрено выше, можно найти наращенную сумму и современную стоимость любого потока платежей. Однако удобнее воспользоваться более компактными формулами.

Пусть в течение лет в банк в конце каждого года вносится порублей. На взносы начисляются сложные проценты по ставке годовых. Т.о. имеется рента, член которой равен , а срок - . Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты – на первый член проценты начисляются год, на второй и т.д. На последний взнос проценты не начисляются (т.к. рента постнумерандо). Наращенная к концу срока по каждому взносу сумма составит

, , …, , .

Переписав этот ряд в обратном порядке, нетрудно убедиться в том. Что он представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем и первым членом . Число членов прогрессии равно . Искомая величина равна сумме членов этой прогрессии. Откуда

Обозначим множитель, на который умножается , через . Нижний индекс указывает на продолжительность ренты и величину процентной ставки. Будем называть этот множитель коэффициентом наращения ренты. Данный коэффициент представляет собой наращенную сумму ренты, член которой равен 1

Таким образом

Как было сказано выше, современная стоимость потока платежей – это сумма дисконтированных членов этого потока на некоторый предшествующий момент времени. Вместо термина «современная стоимость» потока платежей в зависимости от контекста употребляют термины капитализированная стоимость или приведенная величина.

Пусть имеется годовая рента постнумерандо, член которой равен , срок ренты - , ежегодное дисконтирование. В этих условиях дисконтированная величина первого платежа равна , второго - , последнего - . Т.е. данные величины образуют ряд, соответствующий геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем . Обозначим сумму членов этой прогрессии через А

Множитель, на который умножается , называется коэффициентом приведения (коэффициентом дисконтирования) ренты, он обозначен как . Этот коэффициент характеризует современную стоимость ренты с членом, равным 1.

При увеличении срока ренты величина стремится к некоторому пределу. Припредельное значение коэффициента составит

Полученное выражение применяется при расчете современной стоимости вечной ренты.