Понятие случайного сигнала (СС) и применение для его описания законов распределения и неслучайных числовых характеристик закона распределения

Случайные сигналы.

Понятие БПФ.

Для осуществления БПФ необходимо потребовать, чтобы N=2^m. Один из алгоритмов реализации БПФ называется прореживания во времени: исходные N отсчетов разбиваются на две последовательности: четную и нечетную

s(0), s(1), s(2)

Для каждой из этих последовательностей вычисляется спектральные коэффициенты, а затем результаты объединяются. При этом достигается экономия в трудоемкости: для одной последовательности (N/2)², и для другой (N/2)², то есть (N²/2). При одинаковом прореживании по времени получается экономия в два раза.

В принципе прореживание по времени можно проводить многократно пока в каждой последовательности не окажется по два отсчета.

Полученная экономия равна N/log₂N раз.

Пример N=1024=2¹⁰≈1000, то есть экономия в 100 раз.

Кроме прореживания по времени бывает прореживание по частоте.

Раздел 4.

Колебание Х(t) называется случайным сигналом, если его значение в любой момент времени является случайными величинами Х(t_i).

Х_i=Х(t_i) – случайная величина

Если генератор случайного колебания включить на время Т и записать результат, то этот результат принято называть х(t) – реализацией СС.

Реализация СС – это детерминированный сигнал.

Если многократно повторить этот эксперимент, то получится ансамбль реализаций или набор реализаций {X_k(t)}.

Полное статистическое (вероятностное) описание одномерной случайное величины (СВ) Х(t₁) дает одномерный закон распределения СВ.

Имеются две разновидности одномерного закона распределения.

1) Интегральный закон распределения (функция распределения)

- вероятность того, что СВ не превышает некоторого значения х.

Значение функции распределения можно найти по ансамблю реализаций:

(при больших N)

N – полное число реализаций

l – число реализаций, удовлетворяющих условию Х(t₁)≤x

Свойства функции распределения:

- безразмерная.

- неубывающая.

2) Дифференциальный закон распределения (плотность вероятности).

Свойства плотности вероятности:

- размерность [1/x]

- W(x)≥0

- свойство нормировки

Пример:

Площадь характеризует СВ в интервале от a до b.

В общем случае одномерный закон распределения зависит от того, в какой точке проведено сечение. Одномерный закон распределения – функция времени.

Кроме одномерного закона распределения для описания случайных величин можно использовать неслучайные характеристики одномерного закона распределения (моменты распределения).

Неслучайные характеристики бывают:

1) Начальные моменты распределения.

- начальный момент первого порядка (математическое ожидания СВ) – это среднее значения СВ.

- начальный момент второго порядка – это среднее значения квадрата СВ.

- начальный момент k-порядка – среднее значение СВ в степени k.

2) Центральные моменты распределения – начальные моменты от центрированной СВ.

Второй центральный момент

m_x(t), - функция времени.

Знание одномерных законов распределения в различных сечениях СС не дает полного описания СС даже если число сечений стремится к бесконечности, так как одномерный закон распределения не содержит информации о взаимосвязи значений СВ в разных сечениях.

Для более полного описания СС необходимо рассматривать совокупности сечений СС как n-мерную случайную величину. Для описания n-мерной случайной величины применяют n-мерный закон распределения.

W(x₁ x₂, …x_n) – n-мерная плотность.

Свойства n-мерной плотности.

- нормировка

- зная n-мерную плотность можно найти одномерную плотность в любых сечениях

- статистическая независимость сечения. Два сечения называются статистически независимыми, если двумерная плотность равна произведению одномерных плотностей.