Вычисление определителя матрицы коэффициентов системы. Некоторые свойства определителей

Поскольку преобразования прямого хода не меняют определителя матрицы системы, то его легко можно вычислить как произведение диагональных (ведущих) элементов полученной треугольной матрицы, т.е.

. (2.2.9)

Некоторые свойства определителя матрицы.

1. Если к элементам некоторой строки (или некоторого столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца) матрицы, умноженные на произвольный множитель, то величина определителя не изменится.

2. Если к элементам некоторой строки матрицы прибавить соответствующие элементы строки, являющейся линейной комбинацией других строк матрицы (с какими угодно коэффициентами), то величина определителя не изменится.

3. При перестановке местами двух строк (или двух столбцов) матрицы определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный.

4. Умножение всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) матрицы на одно и тоже число равносильно умножению определителя на это число.

5. При транспонировании матрицы величина определителя матрицы не меняется.

6. Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю.