Метод Гаусса

Общая схемарешения методом Гаусса состоит из двух частей.

1-я часть – приведение к эквивалентной системе уравнений более простой структуры (треугольной) за счет вычитания уравнений друг из друга, при умножении вычитаемого уравнения на специально подобранное число (Прямой ход).

2-я часть – решение эквивалентной системы уравнений с треугольной матрицей (Обратный ход).

Прямой ход (приведение системы уравнений к треугольному виду).

1-й шаг. Из i-ой строки (i= 2, 3 ,..., n) вычитаем 1-ую, умноженную на величину

,

получим новые коэффициенты по формуле

для всех .

2-й шаг. Из i-ой строки () вычитаем 2-ую, умноженную на величину

,

получим новые коэффициенты по формуле

для всех

…………………………

k -й шаг. Из i-ой строки () вычитаем k-ую, умноженную на величину

,

получим новые коэффициенты по формуле

для всех

Продолжая, после шагов получим расширенную матрицу вида:

,

т.е. систему с треугольной матрицей, эквивалентную исходной (2.2.1)-(2.2.5).

Общие формулы прямого хода:

(2.2.6)

Следует отметить, что элемент – называется ведущим элементом или главным элементом.

Обратный ход (решение системы с треугольной матрицей).

В результате прямого хода получена следующая система с треугольной матрицей, эквивалентная исходной системе (2.2.1):

(2.2.7)

Из треугольной системы последовательно (в обратном порядке) вычисляются значения неизвестных по формуле:

(2.2.8)

для (при сумма в формуле отсутствует).